几何概率

基础

• $$\begin{gathered} 样本空间G的样本点无数个,G构成了一个n维空间的区域，每个样本点发生具有等可能性。 \\ 古典概率无法完成这种计算，比如，以前的古典概率是10杯水，你选择其中一杯喝的概率是多少 \\ \frac{1}{10} \\ 请问在[0,1]的实数里，你选择其中一个实数的概率是多少？？？ \\ \frac{1}{\infty }=??? \\ 一杯水有无数个水分子，你喝了一小口，请问你喝了至多1000个水分子的概率是多少？？ \\ \frac{1000}{\infty }＝？？？？ \end{gathered}$$
• 几何概率的随机试验

1. 试验上的样本空间G或直线上的某个有限区间，或是平面和空间上的某个度量有限区域。
2. 样本空间G中每个样本点的发生具有某种等可能性。

• $样本空间\Phi 可构成n维空间的一个有限区域G$。
  $$\begin{gathered} 事件A\subset G构成了G中的某一部分区域g，则称 \\ P(A)=\frac{g的测度}{G的测度} \end{gathered}$$
  这就是A的几何概率，$A＝\varnothing ,P(A)=0$
• 几何概率的这些数学概念属于实变函数和测度论知识，可见我博客的实变函数系列和概率论原理系列
• 在区域G中随机选取的点落入区域g的概率与g的测度成正比。
• 在这片面积达8万平方米的森林中有100平方米有某种珍贵野生植物生长，请问你在这片森林里采集到这种野生植物的概率是多少？
  $\frac{100}{80000}=0.00125$
• 测度：
  1.n=1：长度
  2.n=2：面积
  3.n=3：体积
• 在一个直径为19公里的圆形草原上，三人分别自由骑行，各带一个对讲机，两个对讲机之间的通话距离最长为3公里，请问三人在该草原上能同时通过对讲机沟通的概率为多少？
  $$\begin{gathered} 1,A,B,C为两人，n=2，三人的对讲机可定位在地面上的两维空间， \\ 相当于构成了一个三角形g,边长a=3。 \\ 2.g面积=\frac{1}{2}\times a\times h=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{3}^2 \\ 3.区域G面积＝\pi r^2=\pi (\frac{19}{2}{)}^2 \\ 4.同时通过对讲机沟通为事件A，P(A)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{3}^2}{\pi (\frac{19}{2}{)}^2}=0.0137450417141167 \end{gathered}$$

julia> ((sqrt(3)/4)*(3^2))/(pi*(19/2)^2)
0.0137450417141167

• A、B两台公交车都会经过杨树湾这个站点，两台公交车会在这个站点停靠10分钟，请问两台公交车在下午17点到18点之间在站点相会的可能性多大？
  $$\begin{gathered} 1、原理同上，这里直接给出结论 \\ 2、事件A两台公交车相会，对应区域g，x和y为两台公交车到达杨树湾这个站点的时间， \\ g=\{(x,y):|x-y|<=10\} \\ 3、总样本空间G=\{(x,y):0\le x,y\le 60\} \\ 4、\frac{60^2-50^2}{60^2}=0.3055555555555556 \end{gathered}$$

julia> (60^2-50^2)/(60^2)
0.3055555555555556

理论

以下内容来自文心一言的自动生成

测度论

测度论是数学中研究一般集合上的测度和积分的理论，它是现代分析数学中重要工具之一，也是实变函数论的基础。以下是对测度论原理、计算等方面的详细阐述：

一、测度论的原理

1. 测度的定义

• 基本概念：测度是一种将集合映射到实数的函数，用于描述集合的大小或“度量”。在实际应用中，测度可用于计算长度、面积或体积等。
• 数学表示：设X是一个集合，μ是从X的子集族到[0, +∞]的映射，满足以下性质：
  • μ(∅) = 0（空集的测度为0）。
  • 对于有限或可数个两两不交的子集{Ai}，有μ(∪Ai) = ∑μ(Ai)（可加性）。
  • 对于任意集合A，μ(A) ≥ 0（测度非负）。

2. 可测集与测度空间

• 可测集：在测度论中，不是所有集合都有测度，只有那些满足特定条件的集合（即可测集）才有测度。
• 测度空间：一个测度空间是一个三元组(Ω, F, μ)，其中Ω是一个集合，F是Ω上某些子集的集合（即σ代数或σ域），μ是定义在F上的测度。

3. 测度的扩张

• 测度的扩张是指将测度的定义从原始集合类扩展到更大的集合类。最著名的测度扩张理论是勒贝格测度论，它允许将测度扩展到更广泛的集合上。

4. 积分与测度

• 积分是一种将函数映射为实数的操作，它能够帮助我们计算出在一个集合上某个函数的平均值或总和。测度与积分有着密切的联系，测度是积分的基础。

二、测度论的计算

1. 勒贝格测度

• 定义：勒贝格测度是测度论中的一个重要分支，它建立在可测集和完备性等概念的基础之上。勒贝格测度可以适用于各种各样的几何对象，包括点、线、面、体等。
• 计算：对于区间I = [a, b]，勒贝格测度λ(I) = b - a。对于一般的可测集合E，勒贝格测度可以通过可列个开区间的覆盖来逼近计算。

2. 勒贝格积分

• 定义：勒贝格积分是勒贝格测度论的一个重要应用领域，它能够将积分推广到更复杂的函数空间中。勒贝格积分不仅适用于连续函数和分段连续函数，还适用于更一般的可积函数。
• 计算：勒贝格积分的计算通常涉及到将函数分解为简单函数（即取值只有有限个的函数）的极限，然后利用测度的可加性进行计算。

三、测度论的应用

测度论在各个领域中都有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：

• 数学分析：测度论是现代分析数学的重要工具，它为实变函数论、泛函分析等领域提供了基础。
• 概率论与统计学：测度论在概率论中扮演着重要角色，概率测度就是测度的一种特殊形式。在统计学中，测度论也被用于描述数据的分布和特征。
• 物理学：在物理学中，测度论被用于描述和计算各种物理量的变化趋势和关系，如质点的运动轨迹、速度加速度等。
• 计算机科学：在计算机科学中，测度论被广泛应用于机器学习、数据挖掘、自然语言处理等领域。例如，在聚类分析中，可以使用测度论中的距离度量来计算对象之间的相似性。

四、总结

测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论，它是现代分析数学中不可或缺的一部分。通过测度论，我们可以更好地理解和描述现实世界中各种量的度量方式，从而推动数学在各个领域的应用。在计算方面，勒贝格测度和勒贝格积分是测度论中的两个重要概念，它们为我们提供了计算长度、面积、体积以及函数积分的有效工具。

两点间的距离

• 在二维空间中，如果我们有两个点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$，我们通常不使用“矩阵”来直接表示这两点间的距离，而是使用距离公式。然而，如果我们想从某种线性变换或矩阵运算的角度来考虑这个问题，我们可以将这两点视为二维空间中的向量，并使用这些向量的性质来求解距离。

不过，为了直接和清晰地解答这个问题，我们直接使用两点间的距离公式：

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

这里，$d$ 是点 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的距离。

如果我们想从矩阵的角度稍微“绕个弯”来思考这个问题（尽管这不是最直接的方法），我们可以将这两点视为从原点出发的向量 $\overrightarrow{v_1}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]$ 和 $\overrightarrow{v_2}=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]$。然后，我们可以计算这两个向量之间的差，即 $\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}=\left[\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right]$。这个差向量表示了从点 $P_1$ 到点 $P_2$ 的方向和距离（但不包括距离的实际值，因为向量只有方向和模长，没有固定的“起点”）。

为了得到实际的距离，我们可以计算这个差向量的模长，即：

$$|\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

这与我们之前使用的距离公式是一致的。

总结来说，虽然我们可以将两点视为向量，并使用矩阵（或更准确地说，向量的差）来表示它们之间的关系，但计算两点间距离的最直接和常用的方法还是使用距离公式。

• 在数学中，$||A-B||$ 通常表示两个点、向量或矩阵 $A$ 和 $B$ 之间的某种“距离”或“范数”。不过，没有具体的上下文（比如是在欧几里得空间、复空间、还是矩阵空间等），我们通常假设这是在欧几里得空间中的两点或两个向量之间的欧几里得距离或范数。

1. 如果是两点或两个向量在欧几里得空间中：
   假设 $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 和 $B=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 是 $n$ 维欧几里得空间中的两点或两个向量，那么 $A-B$ 就是从点 $B$ 到点 $A$ 的向量，其坐标为 $(a_1-b_1,a_2-b_2,\dots ,a_n-b_n)$。

   两点或两个向量之间的欧几里得距离（或范数）定义为：
   $$||A-B||=\sqrt{(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2+\cdots +(a_n-b_n{)}^2}$$

2. 如果是在其他类型的空间中：
   如果 $A$ 和 $B$ 是在其他类型的数学对象（如复数、矩阵、函数空间中的元素等），那么 $||A-B||$ 的定义将取决于该空间的特定范数或距离度量。

   • 对于复数 $z_1$ 和 $z_2$，其“距离”通常定义为 $|z_1-z_2|$，即复数差的模。
   • 对于矩阵，存在多种范数定义，如 $L_1$ 范数、$L_2$ 范数（也称为 Frobenius 范数）、无穷范数等。

由于问题中没有指定 $A$ 和 $B$ 的具体类型，我们通常假设它们是在欧几里得空间中的点或向量，并应用上述的欧几里得距离公式。

海伦公式

知道三角形的三条边（假设分别为$a$、$b$、$c$），我们可以使用海伦公式（Heron’s formula）来求三角形的面积。海伦公式是基于三角形的半周长（记作$s$）和三条边长的关系来求面积的。

首先，计算三角形的半周长$s$：
$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

然后，使用海伦公式来计算三角形的面积$A$：
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

这里， \sqrt{} ​ 表示开平方运算。

举个例子，如果三角形的三条边分别为$a=3$，$b=4$，$c=5$，则：

1. 计算半周长 $s$：
   $$s=\frac{3+4+5}{2}=6$$

2. 使用海伦公式计算面积 $A$：
   $$A=\sqrt{6\times (6-3)\times (6-4)\times (6-5)}=\sqrt{6\times 3\times 2\times 1}=\sqrt{36}=6$$

所以，这个三角形的面积为$6$平方单位。

等边三角形的面积

是三条边都相等的特殊三角形。要求等边三角形的面积，我们可以使用多种方法，但其中一种常见且简单的方法是使用三角形的边长和三角函数（特别是正弦函数）或者利用等边三角形的高（也即从一个顶点到对边的垂线）来计算。

假设等边三角形的边长为$a$。

方法一：使用三角函数

由于等边三角形的三个角都是$60^{\circ }$，我们可以利用正弦函数来求高。但在这里，为了简化计算，我们直接给出高的表达式：

高 $h=a\times \sin 60^{\circ }=a\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

然后，使用三角形面积的基乘高除以2的公式：

面积 $A=\frac{1}{2}\times a\times h=\frac{1}{2}\times a\times \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

方法二：使用等边三角形的高

由于等边三角形的三条高都相等，并且都交于一点（三角形的重心、垂心、外心、内心合一），我们可以直接利用高来计算面积。

高 $h$ 可以通过等边三角形的边长 $a$ 和一些简单的几何关系来求得，如上所述，$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

然后，面积 $A=\frac{1}{2}\times a\times h=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。

结论

等边三角形的面积公式为：

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$$

其中 $a$ 是等边三角形的边长。

参考文献

1. 文心一言
2. 《数学》中国财政经济出版社 2010版