函数依赖与公理系统简介

1. 引言

在关系数据库中，数据以表格的形式存储，每张表称为一个关系。关系模式由一系列属性（列）组成，并且每个属性都有一个特定的数据类型。为了保证数据的一致性和完整性，需要对关系进行规范化处理。函数依赖是一种描述关系模式中属性之间依赖关系的概念，它帮助我们识别并消除数据冗余以及更新异常。

2. 函数依赖定义

假设有一个关系模式 𝑅(𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛)R(A1,A2,…,An)，其中 𝐴𝑖Ai 是属性，如果对于 𝑅R 中的任意两个元组 𝑡1t1 和 𝑡2t2，只要 𝑡1t1 和 𝑡2t2 在 𝑋X 上的分量相等，则它们在 𝑌Y 上的分量也必须相等，那么我们称 𝑋→𝑌X→Y 是 𝑅R 中的一个函数依赖，这里 𝑋X 和 𝑌Y 是 𝑅R 中属性的集合。

3. 公理系统

为了简化函数依赖的推理过程，引入了函数依赖的公理系统。这些公理提供了一种方法来推导出其他函数依赖，而无需查看具体的关系实例。主要有三个基本公理：

自反性：若 𝑌⊆𝑋Y⊆X，则 𝑋→𝑌X→Y 成立。
增广性：若 𝑋→𝑌X→Y 成立，且 𝑍Z 是属性集，则 𝑋𝑍→𝑌𝑍XZ→YZ 成立。
传递性：若 𝑋→𝑌X→Y 和 𝑌→𝑍Y→Z 成立，则 𝑋→𝑍X→Z 成立。

此外，还有几个推论规则可以基于这三个基本公理推导出来：

伪传递性：若 𝑋→𝑌X→Y 和 𝑊𝑌→𝑍WY→Z 成立，则 𝑊𝑋→𝑍WX→Z 成立。
分解性：若 𝑋→𝑌𝑍X→YZ 成立，则 𝑋→𝑌X→Y 和 𝑋→𝑍X→Z 都成立。
合成性：若 𝑋→𝑌X→Y 和 𝑋→𝑍X→Z 成立，则 𝑋→𝑌𝑍X→YZ 成立。

4. 公理系统的应用

公理系统的主要应用在于规范化过程中确定候选键和主键，以及解决数据冗余和更新异常问题。例如，在关系模式 𝑅(𝐴,𝐵,𝐶,𝐷)R(A,B,C,D) 中，如果存在函数依赖 𝐴→𝐵A→B 和 𝐵→𝐶B→C，通过传递性可以得出 𝐴→𝐶A→C。

5. 规范化形式

根据函数依赖，关系模式可以被规范化到不同的级别，包括第一范式 (1NF)、第二范式 (2NF)、第三范式 (3NF)、BC 范式 (BCNF) 等。这些规范化形式有助于减少数据冗余，并确保数据的一致性。

6. 结论

函数依赖是关系数据库设计中一个重要的概念，它不仅帮助我们理解关系模式中属性之间的逻辑联系，而且还是实现数据一致性和减少冗余的关键工具。通过应用函数依赖的公理系统，我们可以更高效地分析和优化数据库结构。

参考文献

C.J. Date. An Introduction to Database Systems. Addison-Wesley, 2004.
G. M. Kuper and J. Tiuryn. "Dependency preserving schema mappings." In Proc. of the 1984 ACM SIGMOD International Conference on Management of Data, pages 15–24. ACM Press, 1984.