本文是交叉熵损失函数为代表的两层神经网络的反向传播量化求导计算公式中的一个公式，单独拿出来做一下解释说明。

公式 8-15 是反向传播算法中，计算损失函数对输出层偏置 $b_2$ 的梯度。这个梯度用于指导偏置的更新，从而最小化损失函数 $L$。我们将在此详细推导和解释公式 8-15。

公式 8-15 的表达式：

$$\frac{\partial L}{\partial b_2}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(a_2-y)\text{\hspace{1em}(8-15)}$$

1. 背景概念

• $L$：损失函数，通常在分类问题中使用交叉熵损失。
• $b_2$：输出层的偏置项，位于输出神经元的输入前加上。
• $a_2$：输出层的激活值，是通过激活函数（如 sigmoid）计算得到的，代表模型的预测概率。
• $y$：真实标签，代表样本的真实类别（0 或 1）。
• $m$：训练集中的样本数量。
• $i$：第 $i$ 个样本的索引。

2. 公式的含义

公式 8-15 计算的是损失函数 $L$ 对输出层偏置 $b_2$ 的导数，也就是通过反向传播算法，损失函数如何影响输出层的偏置项。这个梯度用于反向传播过程中的梯度更新。

偏置 $b_2$ 是输出层的一个独立参数，它不是与输入数据直接相连的，而是加在输出层的输入上。因此，它的梯度只与输出层的误差（即模型预测值与真实值之间的差异）有关。

3. 推导过程

为了推导公式 8-15，我们需要应用链式法则来计算损失函数对 $b_2$ 的导数。

1. 损失函数对偏置 $b_2$ 的导数：

损失函数 $L$ 对输出层偏置 $b_2$ 的导数可以通过链式法则写为：
$$\frac{\partial L}{\partial b_2}=\frac{\partial L}{\partial z_2}\cdot \frac{\partial z_2}{\partial b_2}$$

其中：

• $\frac{\partial L}{\partial z_2}$ 是损失函数对输出层加权输入 $z_2$ 的导数，这个导数反映了模型输出层的误差。
• $\frac{\partial z_2}{\partial b_2}$ 是加权输入 $z_2$ 对偏置 $b_2$ 的导数。

2. 计算 $\frac{\partial z_2}{\partial b_2}$：

输出层的加权输入 $z_2$ 的计算公式为：
$$z_2=w_2\cdot a_1+b_2$$

因此，$z_2$ 对偏置 $b_2$ 的导数是：
$$\frac{\partial z_2}{\partial b_2}=1$$

这个结果是因为偏置 $b_2$ 直接加到输出层的输入上，它对 $z_2$ 的变化直接影响，而与输入数据无关。

3. 计算 $\frac{\partial L}{\partial z_2}$：

根据公式 8-13，我们已经知道：
$$\frac{\partial L}{\partial z_2}=a_2-y$$

这个导数表示模型预测值 $a_2$ 和真实值 $y$ 之间的差异。它衡量了输出层的误差大小。

4. 结合链式法则：

现在我们可以将这些结果代入链式法则中，得到：
$$\frac{\partial L}{\partial b_2}=(a_2-y)\cdot 1=a_2-y$$

这个表达式表示损失函数对输出层偏置 $b_2$ 的梯度等于模型输出层的误差 $a_2-y$。

5. 对所有样本求和并取平均：

在实际训练过程中，我们通常对多个样本进行计算，因此需要对所有样本的梯度求和并取平均。假设有 $m$ 个样本，则最终的梯度表达式为：
$$\frac{\partial L}{\partial b_2}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(a_2^{(i)}-y^{(i)})$$

这里，$i$ 表示第 $i$ 个样本，$a_2^{(i)}$ 是第 $i$ 个样本的预测值，$y^{(i)}$ 是第 $i$ 个样本的真实标签。

4. 公式的解释

$$\frac{\partial L}{\partial b_2}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(a_2-y)$$

这个公式表明，输出层偏置 $b_2$ 的梯度等于所有样本的输出误差 $a_2-y$ 的平均值。偏置项的梯度只与输出层的误差有关，它不依赖于输入数据或隐藏层的激活值。

在梯度下降过程中，我们将使用这个梯度来更新输出层的偏置。通过调整偏置 $b_2$，我们可以减少输出层的预测误差。

5. 直观理解

偏置 $b_2$ 是加在输出层的神经元上的一个常量，因此它的更新取决于输出层的误差。在每个样本的预测中，偏置 $b_2$ 的更新方向和大小都依赖于模型的预测值 $a_2$ 和真实值 $y$ 之间的差异。

• 如果预测 $a_2$ 高于真实值 $y$，即 $a_2>y$，那么梯度 $a_2-y$ 为正，表示需要减少偏置的值，从而减小预测。
• 如果预测 $a_2$ 低于真实值 $y$，即 $a_2<y$，那么梯度 $a_2-y$ 为负，表示需要增加偏置的值，从而增大预测。

通过对多个样本的误差求平均，我们可以平滑梯度的更新，使偏置 $b_2$ 的调整更稳定。

6. 总结

公式 8-15 通过链式法则，计算出损失函数对输出层偏置 $b_2$ 的梯度。公式表达了偏置的梯度是所有样本的输出误差 $(a_2-y)$ 的平均值。这个梯度用于反向传播过程中，通过梯度下降更新偏置，使得神经网络的损失函数逐步减小，最终提高模型的预测准确性。