einsum的计算是由输出的字符串决定的，下面举例：

1. 矩阵乘法：

import numpy as np

A = np.random.rand(2, 3)
B = np.random.rand(3, 4)
C = np.einsum('ij,jk->ik', A, B)

在这个例子中，'ij,jk->ik' 表示 A 的第一个维度 i 与 B 的第二个维度 k 保持不变，而 j 是要被求和的维度。因此，这个操作实际上是矩阵乘法。

转置：

A = np.random.rand(2, 3)
B = np.einsum('ij->ji', A)

A = np.random.rand(2, 3) B = np.einsum('ij->ji', A)

这里 'ij->ji' 表示将矩阵 A 的第一个维度 i 和第二个维度 j 交换，从而实现矩阵转置。

内积：

A = np.random.rand(3)
B = np.random.rand(3)
dot_product = np.einsum('i,i->', A, B)

A = np.random.rand(3) B = np.random.rand(3) dot_product = np.einsum('i,i->', A, B)

这里 'i,i->' 表示将两个一维向量的对应元素相乘并求和，即内积。

外积：

A = np.random.rand(3)
B = np.random.rand(4)
outer_product = np.einsum('i,j->ij', A, B)

A = np.random.rand(3) B = np.random.rand(4) outer_product = np.einsum('i,j->ij', A, B)

这里 'i,j->ij' 表示计算两个向量的外积，生成一个 3x4 的矩阵。

迹（trace）：

A = np.random.rand(3, 3)
trace = np.einsum('ii->', A)

A = np.random.rand(3, 3) trace = np.einsum('ii->', A)

这里 'ii->' 表示计算矩阵 A 的对角元素之和，即迹。

通过 einsum，你可以简洁而高效地表达复杂的张量运算，这在科学计算和机器学习中尤为有用。