中学数学星空，高中数学微专题666 联合出品 微专题13 隐零点问题

微专题13 隐零点问题

by 浙江杭州龚大成

知识梳理

一、什么是 “隐零点”？

超越函数 (含有 、 、 等)的零点一般情况下是无法直接解出来的，有时候我们可以观察

出它的零点，但大多数情况下是观察不出来的，我们把这一类零点称为 “隐零点”，即能确定其存在，

但又无法用代数式显式地表示，例如： ，它在 上递增，且 ， ，由零

点存在定理可知 在区间 内有零点，但这个零点的确切的值(常数)是多少，我们又无法将它

表示出来，这就是我们说的“隐零点”.

二、函数“隐零点”存在性的判断

① 若连续函数 在 上单调，且 ，则 在 上存在唯一零点；

② 数形结合，借助函数图像来确定. 例如 ，可以在同一坐标系中同时画出函数

和 的图象，观察图象，发现 有唯一的零点 满足 .

三、如何用函数 “隐零点”解决问题

解决函数 “隐零点”问题的基本方法是虚设零点，再借助零点的表达式进行合理的代换。这样我

们可以在不求出函数零点的情况下，进行计算和证明.

例题讲解

一、不含参数的隐零点问题——观察法

例 1 (2013 年高考北京卷·理)设 为曲线 在点 处的切线.

(Ⅰ)求 的方程；(Ⅱ)证明：除切点 之外,曲线 在直线 的下方.

证明：(Ⅰ) ；

(Ⅱ)即证： ，令 ，则 ，

令 ，则 ，(观察法)

，所以 在 上单调递增.

当 时， ，从而 ， 单调递减；

当 时， ，从而 ， 单调递增.

即 ， . 当且仅当 时取等号.

点评：可以观察出 的零点为1，能观察出来还叫隐零点吗？反正这个零点不是解出来的，也属于

同一类的问题，不管那么多了，把这种情况也罗列出来吧，况且有一部分的超越方程的零点就是靠观

察的. 观察的时候通常优先考虑1， ， ， 等常数.

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二、不含参数的隐零点问题——虚设零点 找点卡根

2 .

例 已知函数 ，求证：

证明： ，则 在 上单调递增，

且 ，(这个零点观察不出来了吧)

所以 在 上存在唯一零点 ，满足 ， .

当 时， ， 单调递减，

当 时， ， 单调递增，

，

令 ， ，则 ，