本文转自豆瓣_燃烧的影子
图灵机与可计算性
图灵（1912~1954）出生于英国伦敦，19岁进入剑桥皇家学院研究量子力学和数理逻辑。1935年，图灵写出了“论高斯误差函数”的论文，因此他从一名学生直接成为学院的研究员，并开始了“可计算性”研究。1936年4月，图灵发表了“可计算数及其在判定问题上的一个应用”的论文，形成了“图灵机”的重要思想。用反证法证明，任何可计算其值的函数都存在相应的图灵机；反之，不存在相应图灵机的函数就是不具有可计算其函数值算法的函数。同年，图灵到美国普林斯顿大学学习，并于1938年获该校博士学位。1939年秋，图灵应召到英国外交部通信处从事密码破译工作，开始了最早的计算机的研究工作。战后图灵一直从事计算机的理论研究和实践开发研究，制作出最早的电子计算机。他于1950年发表了“计算机和潜力”的论文，引发了“机器是否会思考”的学术讨论，并成为影响至今的经典论著。图灵思想活跃，但性格内向，一直没有结婚。1954年6月，图灵在家中因氰化钾中毒去世，原因则众说纷纭，至今仍为一个谜。
“算法”（Algorithm）这个名称最早源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一本著作，在这本著作中花拉子米用算法来概括算术四则运算的法则。20世纪初，希尔伯特提出了著名的23个数学问题，其中很多都涉及到问题解决的判定问题。1935年，正在剑桥皇家学院读书的图灵，在听了数理逻辑学家纽曼的课程后，开始注意希尔伯特的判定问题，并进行了潜心的研究。该问题要求判定是否存在一种有效的算法（或今天在计算机科学中称为“程序”的东西），把某个结论从一组给定的假设中用逻辑方法推演出来。图灵将算法看做一个机械的过程，或者是一组规则，它规定了人们在任何情况下必须执行的某类操作的指令。
今天的计算机技术，人们将“算法”定义为用特定的计算机语言编写的计算机程序。然而，图灵的早期研究则是为了从理论上解决可判定性来定义“算法”，并提出与之相应的图灵机（理论）。
图灵机是假设的抽象“计算机”，如图9.6所示。图灵机由三个部分组成：一条带子，一个读写头和一个控制装置。带子分成许多小格，每小格可存一位数（0或1），也可以是空白的。机器的运作是按逐步进行的方式，每一步由三个不同的动作组成：在任一确定时刻，读写头对准带子上的一个方格，根据该格上的内容和机器的状态决定自己的动作；机器可以抹去带上的原有符号，使方格保持空白或者写上另外的（也可以与原来相同的）符号；然后让带子通过读写头，朝两个方向之一移动一个方格。机器的行为自始至终是由一个指令集所决定，它明确地指示机器每一步应该执行哪三个动作。整个运作从读写头视读第一个方格数据开始，一旦计算结束，机器就进入一个特别的停止状态。运算过程的任何结果都被纪录在带子上。
非确定型图灵机
图9.6 图灵机的图示
图灵机的行为由算法控制，算法的程序由有限条指令组成，每一条取自下列一组可能的选择：
PRINT 0 ON THE CURRENT SQUARE 在当前方格中写0
PRINT 1 ON THE CURRENT SQUARE 在当前方格中写1
GO LEFT ONE SQUARE 左移一格
GO RIGHT ONE SQUARE 右移一格
GO TO STEP i IF THE CURRENT SQUARE CONTAINS 0 若当前方格内容为0，转向步i
GO TO STEP j IF THE CURRENT SQUARE CONTAINS 1 若当前方格内容为1，转向步j
STOP 停止
由这七种简单的指令出发，可以组成所谓的“图灵一波斯特程序”，通过这些程序控制机器完成各种计算。图灵机是一个假想的计算模型，并不是一台实际的机器。从以上介绍可见，它的结构与动作极为简单，但是，正是这样简单的结构包含了现代电子计算机最基本的工作原理：按串行运算、线性储存方式进行符号处理。
利用可计算性，数学家解决了众多的判定性问题，存在（或不存在）某种求解的算法，是确定这些判定性问题的标准。显然算法的存在性判定可以满足纯数学研究的需要。但另一方面，在解决现实问题中，单纯的算法存在性的判定是远远不够的。如果一个算法让高速计算机算上几千年，那么它就毫无实用的价值。我们必须研究有效算法的存在性，制定算法有效性的评估标准。
20世纪60年代，柯勃汉与爱德华兹创立了算法有效性的一种判定法则：区分算法是否有效，要以图灵机为基本的计算工具，用图灵机上完成计算的步数（即图灵程序）来评估一个算法是否有效。一般地，人们习惯于依据“计算时间”的长短来判定算法的有效性，使用这种度量标准，需要使用以下的相关定义：
如果存在确定的整数A和k，对于长度为n的输入数据，计算可以在至多Ank步内完成（对任意的n值）。那么，这个算法被称为“多项式时间算法。”例如，将两个整数相加的标准算法是多项式时间算法。不是多项式时间算法的算法被称之为“指数时间算法”。当一个算法处理长度为n的输入数据时，若需要2n（或3n， nn， n!）步，它就是一个指数时间算法。
柯勃汉和爱德华兹将“有效”算法规定为需要多项式时间的算法。而将需要指数时间的算法规定为“非有效”算法。这种划分方法只是“理论”的划分方法，它与实际应用还有一定的区别。譬如，A=1050和k=500的多项式时间算法在实际意义上一般不会“有效”。所幸的是，在现实问题中，一