微分方程组的龙格库塔公式求解matlab版

微分方程组的龙格-库塔公式求解matlab版

南京大学 王寻

1. 一阶常微分方程组

考虑方程组

   

y'f x,y,z , y x y

 0 0

   

z'g x,y,z , z x z

 0 0

其经典四阶龙格-库塔格式如下：

对于n=0,1,2,...,计算

 h

y y  K 2K 2K K 

 n1 n 6 1 2 3 4

 h

z z  L 2L 2L L 

n1 n 1 2 3 4

 6

其中

K f x ,y ,z , L g x ,y ,z   

1 n n n 1 n n n

  h hK1 hL1  h hK1 hL1

K f x  ,y  ,z 2  n n n ,L g x  ,y  ,z 2  n n n 

  2 2 2   2 2 2 



K f x  ,y 3  n h n hK2 ,z n hL2 ,L g x  ,y 3  n h n hK2 ,z n hL2 

  2 2 2   2 2 2 

K f x h,y hK ,z hL ,L g x h,y hK ,z hL   

 4 n n 3 n 3 4 n n 3 n 3

下面给出经典四阶龙格-库塔格式解常微分方程组 matlab通用程序：

%marunge4s.m

%用途：4阶经典龙格库塔格式解常微分方程组y'=f(x,y),y(x0)=y0

%格式：[x,y]=marunge4s(dyfun,xspan,y0,h)

%dyfun为向量函数f(x,y),xspan为求解区间[x0,xn],

%y0为初值向量，h为步长，x返回节点，y返回数值解向量

function [x,y]=marunge4s(dyfun,xspan,y0,h)

x=xspan(1):h:xspan(2);

y=zeros(length(y0),length(x));

y(:,1)=y0(:);

for n=1:(length(x)-1)

k1=feval(dyfun,x(n),y(:,n));

k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(:,n)+h/2*k1);

k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(:,n)+h/2*k2);

k4=feval(dyfun,x(n+1),y(:,n)+h*k3);

y(:,n+1)=y(:,n)+(h/6).*(k1+2*k2+3*k3+k4);

end

如下为例题：

例1：取h=0.02，利用程序marunge4s.m求刚性微分方程组

 

y'0.01y99.99z, y 0 2,



 

z'100z, z 0 1

的数值解，其解析解为： 0.01x 100x 100x

y e e ,ze

M dyfun.m

解：首先编写 函数

%dyfun.m

function f=dyfun(t,y)

f(1)=-0.01*y(1)-99.99*y(2);

f(2)=-100*y(2);

f=f(:);