【泛函分析】 2 赋范线性空间

1 线性空间

满足加法数乘的线性运算

线性包spanA： $\left \{ y= \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+...+\lambda _{n}x_{n}|\lambda _{i}\in \mathbb{K},x_{i}\in A,i=1,2,...n,n\in \mathbb{N}\right \}$
凸包coA： $\left \{ y= \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+...+\lambda _{n}x_{n}|\lambda _{i}\geq 0,\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}=1,x_{i}\in A,i=1,2,...n,n\in \mathbb{N}\right \}$
即有限凸组合组成的集合
同构： $T:X\rightarrow Y$ 是双射且 $T\left ( \alpha x+\beta y \right )=\alpha Tx+\beta Ty$
线性流形:线性子空间对某个向量的平移， $M,M_{0}\subset X,\exists x_{0}\in X,\,s.t.M=M_{0}+x_{0}= \left \{ x+x_{0} |x\in M_{0}\right \}$

2 赋范线性空间

2.1 定义

[2]三角不等式： $|\left | x+y \right ||\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|,\forall x,y\in X$ ；

[3]偶性： $\left \| -x \right \|=\left \| x \right \|,\forall x\in X$ ；
[4]连续性： $\lim_{\alpha _{n}\rightarrow 0}\left \| \alpha _{n}x \right \|=0;\lim_{\left \| x_{_{n}} \right \|\rightarrow 0}\left \| \alpha x_{n} \right \|=0,\forall \alpha ,\alpha _{n}\in \mathbb{K},x,x_{n}\in X$

2. $F^{*}$ 空间：X是赋准范数空间，若X上距离 $\rho (x,y)=\left \| x-y \right \|$ ，则称它为 $F^{*}$ 空间；特别地，完备的 $F^{*}$ 空间称为空间。

[2]三角不等式： $|\left | x+y \right ||\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|,\forall x,y\in X$ ；

4. $B^{*}$ 空间：赋范线性空间；特别地，完备的 $B^{*}$ 空间称为B(Banach)空间。

2.2 Araela-Ascoli 定理

F是C(M)的一个子集，M是距离空间

一致有界： $\exists L>0,s.t.\,\,\forall f\in F,\left | f(x) \right |\leq L(\left \| f \right \|\leq L)\,\,holds.$
等度连续： $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta >0,s.t.\,\,\forall f\in F,if\,\,\rho (x,y)<\delta ,\,\,then\,\,\left | f(x)-f(y) \right |<\varepsilon .$
F列紧 $\Leftrightarrow$ F一致有界，等度连续.

2.3 等价范数

$\left \| x \right \|_{1}$ 比 $\left \| x \right \|_{2}$ 强： $\left \| x_{n} \right \|_{1}\rightarrow 0\Rightarrow \left \| x_{n} \right \|_{2}\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)$
范数等价： $\left \| x \right \|_{1}$ 比 $\left \| x \right \|_{2}$ 强且 $\left \| x \right \|_{2}$ 比 $\left \| x \right \|_{1}$ 强

2.4 有限维空间

Riesz引理： $E_{0}$ 是赋范线性空间的真闭子空间， $\forall \varepsilon _{0}\in (0,1)$ ，存在 $x_{_{0}}\in E$ ，满足 $\left \| x_{_{0}} \right \|=1$ ，且对一切 $x\in E_{0}$ ，有 $\left \| x_{0} -x\right \|\geq 1-\varepsilon _{0}$
局部列紧性：赋范线性空间E是有限维的，当且仅当E中的单位球是列紧的。

3 内积空间

3.1 定义

正定性；共轭对称性；共轭齐次性；加法等式。
赋范线性空间能引入内积 $\Leftrightarrow$ 它的范数满足平行四边形法则 $\left \| x+y \right \|^{2}+\left \| x-y \right \|^{2}=2(\left \| x \right \|^{^{2}}+\left \| y \right \|^{2})$
完备的内积空间称为Hilbert空间