我们对数的认识大致经历了自然数——整数——有理数——实数这样一个过程。在今天的搞高等数学教材中所研究的函数都是在实数的范围内，极限理论也是建立在实数系的连续性基础之上。而实际上在很长的一段历史时期内，人们对实数的认识一直都比较模糊。一直到柯西，戴德金，康托尔等人的发展下实数理论才得以完善。下面我们来看看实数系的基本定理。(也叫完备性或连续性定理)这几个定理是等价的。

一.确界存在原理：非空有上(下)界的数集必有上(下)确界。

对于R中的一个数集S，若存在数M(L)，使得对一切  ,都有  (或  )，则称S为有上界(或下界)的数集，M(L)称为S的一个上界(下界)。同时具有上下界称数集有界。

确界：最小上界或最大下界称为上下确界。记为  或 

证明：  ，  (任意一个数都可以用整数部分加小数部分来表示)

 (小数部分用无限小数表示，没有小数位数的补0)

PS：我们知道1=0.999999...，所以

也就是说同一个小数有两种表示方法，在这里我们采用前者，此时，小数的表示是唯一确定的。

设  ，非空，有上界，则 

我们现在要证明  有上界，大致的思路是这样：我们要找到它的上确界，怎么找呢？让他每一个数位上的数最大就行了。

我们把  中的数全写成了小数，那就可以把所有的  的整数部分取来，然后从中取最大的(一定有最大的，如果没有那  就没有上界了)，记为  ，然后构建一个  的子集  ，这个集合中所有数的整数部分是  。那我们现在做了一件什么事呢，就是把  中整数部分最大的全拿出来构建了  ,那现在 属于 但不属于  的数，整数部分一定小于  .

然后在  中取第一位小数  的最大者，记为  ，然后我们把  中整数部分为  的拿出来构建一个子集  ，这样我们就保证了整数部分最大，第一位小数最大，.....一直做下去，我们可以保证第n位小数最大，只要我们一直做，就能一直保持当前的那个小数位最大。

至此，我们得到了一个数  ,还得到了一串集合 

现在我们来证明  就是上确界。怎么证明呢？

只需要证两件事(1)它是上界；(2)它是最小上界。

令 

(1)  ,只有两种情况：  是最大的，或者不是最大的

 是最大，则有  ，则考虑  和  ，则这个时候的 

 不是最大，则有  ,则 

所以  ，  ，所以  是上界

(2)要证明  是最小上界，就是证明 稍微减去一点，就不是上界了，即 不是上界

我们取  使得，  ，(比如取  ，  )

取  ，这样的话  整数部分为  ，前  位小数都与  相同，

则  ,即  ,这样一来，  就不是上界了，故最小上界得证。

因此，我们从数集非空有上界推出了有上确界，同理可证有下界必有下确界。

二.单调有界收敛原理：数列单调+有界必定收敛。

说明：这里的有界不一定是同时有上下界，而是相对于单调来说的，我们从直观来看，如果数列单调递增，则有上界能保证收敛；如果单调递减，则需要有下界来保证收敛。、

证明：设  单调递增，有上界。由确界存在原理可得，  有上确界，记为  ，下面证明这个  就是数列的极限。

由于  是上确界，则  ,当  时，有  ；

又因为  是  的一个上界，所以对于一切  ，都有  .所以，当n充分大时，  ,由夹逼性可得，  。

同理可证单调递减有下界必定收敛。

三.闭区间套定理(Cantor准则)。

我们先来看一下什么叫闭区间套。

设闭区间列  具有下面两条性质，则称其为闭区间套：

(1) 

(2) 

定理：若  是一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的一点  ，使得 

证明：从定义来看，闭区间套应该有下面的性质： 

所以  单调递增且有上界，  单调递减且有下界，且两数列极限相同，所以  ，所以存在  这一点满足条件。

下面证明唯一性：假设另外一数  也满足  ,那么 

取极限，得  ，于是  ,唯一性证毕。

四.Bolzano-Weierstrass定理(致密性定理)：有界数列必有收敛子列。

说明：从之前第二个定理看出，有界+单调的条件方能推出数列收敛，而只有有界的情况下，则没有那么强的结论，只能得到稍微弱一些结论。

证明：设  有界，  ，即 

现在将  分为  ，必然有一个区间包含了  的无穷多项，取其为  ，再将这个区间分成两个小区间，其中必然有一个包含  无穷多项，再将它记为  ...

... ... ,一直做下去，我们得到一个闭区间套  ，由闭区间套定理，可得，存在唯一的  。

现证明  中有子列以 为极限。

在  中取  ,  中取 

 中取  在  中取 

从而得到子列  ，  ，令  ，得， 

故定理得证。

五.柯西收敛准则

定理：  是基本列，则  收敛，反之也成立。

基本列：  成立  ,则称该数列为基本列。

证明 ：(1)设  ，则有  ，

两式相加，可得 

(2).先证明  有界

取  成立 

即：  ,取 

对于  ，即  有界，所以有收敛子列 

记  ，

因为  ，当k充分大时，这个式子可以写成

 ，令  ，则原式变为 

故  ，证毕。

结语：上述五个定理统称为实数系的连续性定理，是数学分析学习过程中必须掌握的实数理论的基本定理。这几个定理都描述了实数系是连续的，不可列的。除此之外，实数系基本定理还有戴德金切割定理，聚点定理(也可归为之密性定理)，定理内容及证明放在以后给出。从任何一个定理出发都能够推出其他几个定理，他们是极限论的基础，进而也是微积分的基础。