LoRA与量化技术结合：QPiSSA方法降低量化误差的优势分析

量化技术：
量化技术是指将矩阵的值域划分为若干连续区域，并将每个区域内的所有值映射为相同的“量化”值。量化技术的主要目的是减少前向传播的内存消耗。这在深度学习中是一个重要的问题，因为随着模型的复杂性增加，内存消耗也会急剧增加。然而，量化技术在反向传播中会遇到问题，主要是因为量化后的梯度计算不够精确。

LoRA技术：
LoRA（Low-Rank Adaptation）是一种通过引入低秩适配器来减少反向传播内存需求的方法。LoRA的核心思想是将模型参数分解成低秩形式，保留高精度的适配器，以便在反向传播时能够精确地更新参数。因此，LoRA可以与量化技术结合使用，量化基本模型以提高前向传播的内存效率，同时保持LoRA适配器的全精度以保证反向传播的准确性。

QLoRA方法

QLoRA的工作原理：
QLoRA（Quantized LoRA）将基本模型量化为Normal Float 4-bit（NF4），并使用高斯零初始化来初始化全精度的A和B。QLoRA的量化误差公式如下：
$$\text{Quantization Error of QLoRA}=\Vert W-(\text{nf4}(W)+AB){\Vert }_{\ast }=\Vert W-\text{nf4}(W){\Vert }_{\ast }$$
其中，$(\Vert M{\Vert }_{\ast })$表示核范数（也称迹范数），定义为：
∥ M ∥ ∗ = trace ( M ∗ M ) = ∑ i = 1 min ⁡ { m , n } σ i ( M ) \|M\|_* = \text{trace}(\sqrt{M^*M}) = \sum_{i=1}^{\min\{m,n\}} \sigma_i(M) ∥M∥∗​=trace(M∗M ​)=i=1∑min{m,n}​σi​(M)
这里，$({\sigma }_i(M))$是矩阵M的第i个奇异值。

QPiSSA方法

QPiSSA的工作原理：
QPiSSA（Quantized PiSSA）与QLoRA不同，不对基本模型W进行量化，而是对残差模型Wres进行量化。QPiSSA的量化误差公式如下：
$$\text{Quantization Error of QPiSSA}=\Vert W-(\text{nf4}(Wres)+AB){\Vert }_{\ast }=\Vert Wres-\text{nf4}(Wres){\Vert }_{\ast }$$

残差模型的优势：
残差模型Wres移除了大奇异值成分，使得Wres的分布比W更窄。这种分布的特点有助于减少量化误差。此外，NF4优化针对正态分布数据，因此对更接近高斯分布且标准差较小的Wres应用NF4量化技术更加合适。

实验与结果分析

图表解读：
论文中图展示了不同矩阵（W和Wres）的奇异值分布，以及QLoRA和QPiSSA的误差矩阵和数据值分布。具体如下：

1. 图a和图b：展示了原始矩阵W和残差矩阵Wres的奇异值分布。可以看到，Wres的奇异值分布比W更窄，表明Wres中大部分大奇异值成分已被移除。

2. 图c和图f：展示了W和Wres的数据值分布。Wres的数据分布更接近高斯分布，且标准差较小，这使得NF4量化技术更适用于Wres。

3. 图d和图e：展示了QLoRA和QPiSSA的误差矩阵。QPiSSA的误差矩阵显示其量化误差显著低于QLoRA。

结论

QPiSSA通过对残差模型进行量化，成功地减少了量化误差。由于Wres的分布更接近高斯分布且标准差较小，NF4量化技术在应用于Wres时更加有效。这些特点使得QPiSSA在实际应用中能够实现比QLoRA更低的量化误差，并且在模型微调性能方面也表现更优。