《通信原理》——5. 信源编码

写在前面：本博客是《通信原理》的学习笔记，仅供个人学习记录使用

一、一些定义

（1）信源编码：将数字或模拟信号编码为更紧凑形式的过程。
数字通信系统模型

（2）目的：通过消除冗余信息和利用信号自身的统计特性，使得信号能够以更高效的方式表示和传输。它可以帮助减少存储或传输所需的比特数，从而达到节省带宽或存储空间的效果。
（3）模拟信号数字化传输的三个环节：抽样(Sampling)、量化(Quantization)、编码(Coding)。

抽样：将模拟信号时间离散化；量化：将抽样信号幅度离散化；编码：将量化信号二进制化

二、模拟信号的抽样

1. 抽样定理

（1）低通模拟信号的抽样定理

定理：设一个连续模拟信号 $m (t)$ 的最高频率 $f_{H}$ ，则以间隔时间为 $T_{s}\le 1/2f_{H}$ 的周期性脉冲对它抽样时， $m (t)$ 将被这些抽样值所完全确定。
奈奎斯特间隔：最高 $T_{s}=1/2f_{H}$
奈奎斯特速率：最低 $f_{s}=2f_{H}$
如果抽样速率不满足 $T_{s}\le 1/2f_{H}$ ，信号将产生混叠失真

（2）带通模拟信号的抽样定理

定理：设带通模拟信号 $m (t)$ 的频率限制在 $f_{L}$ 和 $f_{H}$ 之间，信号带宽为 $B=f_{H}-f_{L}$ ，则此带通模拟信号的抽样频率范围为 $\frac{2f_{H}}{N} \le f_{s}\le \frac{2f_{L}}{N-1}$ 。其中， $N$ 为商 $f_{H}/B$ 的整数部分。 $f_{L}=0$ 时， $f_{s}=2B=2f_{H}$ ，为低通抽样情况

2. 模拟脉冲调制信号的抽样

PAM：脉冲振幅调制；PDM：脉冲宽度调制；PPM：脉冲位置调制

（1）自然抽样

又称曲顶抽样，它是指抽样后信号的脉冲顶部与原模拟信号的波形相同。
PAM自然抽样过程的波形和频谱如下：
恢复：可用理想低通滤波器取出原信号。

（2）平顶抽样

平顶抽样，即抽样后的矩形脉冲顶部形状是平坦的。
PAM平顶抽样的产生过程及波形图如下：

平顶抽样的信号频谱被脉冲形成电路的频谱 $H (f)$ 加权，产生频率失真，也叫做孔径失真。
恢复：修正+低通滤波

三、模拟信号的量化

1. 均匀量化

（1）均匀量化：等间隔划分输入信号的取值域

均匀量化示意图：

假如 $m_{k}$ 为模拟信号的抽样值，即 $m (k T)$ ； $m_{q}$ 为量化信号值，即 $m_{q}(kT)$ ； $f(m_{k})$ 为信号抽样值 $m_{k}$ 的概率密度； $E$ 表示求统计平均值； $M$ 为量化电平数； $\Delta V=(b-a)/M$ 是均匀量化间隔； $M$ 电平为 $N$ 为编码有 $M=2^{N}$ 。
量化误差： $e_{q}=m_{k}-m_{q}$ ，在量化区， $|e_{q}|\le \frac{\Delta }{2}$ ，过载区 $|e_{q}|> \frac{\Delta }{2}$
量化噪声： $N_{q}=\frac {(\Delta V)^{2}}{12}$
平均信号量噪比： $\frac {S}{N_{q}}=M^{2}$ 或 $(\frac {S}{N_{q}})_{dB}=20lgM=20Nlg2\approx 6N(dB)$

（2）正弦信号的均匀量化

量噪比： $SNR_{dB}\approx 4.77+20lgD+6.02n$
这里 $n$ 为量化编码位数； $D=A_{m}/\sqrt{2} M$ 为正弦信号的归一化有效值。
满载时，信号功率达到最大，最大量化信噪比为 $SNR_{dB,max}\approx 1.76+6.02n$

（3）均匀量化的缺点

由于量化间隔固定，量化噪声固定，会使得小信号的量化信噪比降低，从而限制了输入信号的动态范围（满足信噪比要求的输入信号的取值范围）。
电话传输标准要求在信号动态范围为 $40 ～ 50 d B$ 的条件下，信号量噪比 $S / Nq \geq 26 d B$ 。此时需要的编码位数多(11~12位)，导致编码信号的带宽增大，且编码设备复杂。

（4）均匀量化的应用：主要用于概率密度为均匀分布的信号，如遥测遥控信号、图像信号数字化接口中。

2. 非均匀量化

原因：为了解决均匀量化带来的小信号量化信噪比恶化问题。
设计思想：信号样值小， $\Delta V$ 也小；信号样值大， $\Delta V$ 也大，即‘压大补小’的非线性变换。
实现方法：

压缩使小样值被抬高，大样值被压小，但程度较轻。

（1） $A$ 压缩律——13折线近似法

中国大陆、欧洲各国及国际间互连时采用 $A$ 律
$A$ 律是指满足下式的对数压缩规律：
$A = 1$ 时无压缩效果；在实际应用中， $A = 87.6$
13折线特性为：

由上图可知，纵坐标 $y$ 均匀的划分成8段，横坐标 $x$ 在0到1的区间内分成不均匀的8段。各段折线的斜率为：

（2） $\mu$ 压缩律——15折线近似法

北美、日本和韩国等少数国家和地区采用 $\mu$ 律。
$\mu$ 律为：
$\mu =0$ 时无压缩效果，常用 $\mu =255$
15折线特性为：

四、脉冲编码调制（PCM）

1. PCM系统原理框图

PCM系统原理框图

2. 折叠码

最常用的编码结构为：折叠二进制码
在A律13折线 PCM编码中，共计 $2\times 8\times 16=256=2^{8}$ 个量化级
编码方式：逐次比较型

（1）需将每个样值脉冲 $I s$ 编成 8位二进制码：
折叠码

极性码：表示样值的极性。正编“1”，负编“0”
段落码：表示样值的幅度所处的段落，即每一段的起始电平
段内码：16种可能状态对应代表各段内的16个量化级，即段内均匀量化区间的起始电平

（2）段落码和段内码的编码规则：

（3）起始电平和量化间隔：

归一化输入电压的最小量化单位： $\Delta = \frac{1}{2048}$

（4）段内码对应权值：

3. 非线性码与线性码（7/11）

（1）编码

非线性码对应非均匀量化：只需要7位（非线性）编码，又名非线性/对数PCM编码， $M=8\times 16=128=2^{7}$
线性码对应均匀量化：以 $\Delta$ 对13折线正极性的8个段落进行均匀量化，则量化级数， $M=2048=2^{11}$ ，需要11位（线性）编码，又名线性PCM编码

举个栗子：

（2）译码

在译码时，将7位非线性码转变为12位线性码（7/12变换电路），目的是增加一个 $\Delta V_{i}/2$ 恒流电流，人为地补上半个量化级，使最大量化误差不超过 $\Delta V_{i}/2$ , 从而改善量化信噪比。
在译码时，译码电平为为两段的中间数

举个栗子：

4. PCM信号的比特率和带宽

设模拟信号的最高频率为 $f_{H}$ ，抽样速率 $f_{s}=2f_{H}$ ，二进制编码位数为 $N$ ，则PCM信号的比特率为： $R_{b}=f_{s}N=2f_{H}N$
传输带宽：若采用非归零矩形脉冲传输时，谱零点带宽为： $B=R_{B}=R_{b}=f_{s}N$

5. PCM系统中噪声的影响

假设条件：自然码、均匀量化、输入信号为均匀分布

两种噪声：
性能指标：

抗加性噪声性能：

抗量化噪声性能：

含义：当低通信号最高频率 $f_{H}$ 给定时, PCM系统的输出信号量噪比随系统的带宽 $B$ 按指数规律增长。——带宽与信噪比互换
总输出信噪比：

这里有： $\frac{S_{o}}{N_{o}}\approx \begin{cases} 2^{2N} & \text{若} N_{a}\ll N_{q}\\ \frac{1}{4P_{e}} & \text{若} N_{a}\gg N_{q}\end{cases}$

6. PCM30/32时分多路复用通信系统

$PCM 30/32$ 路制式基群帧，共由32路组成，其中30路用来传输用户话语，2路用作控制与信令。

（1）抽样周期：抽样时，各路每轮一次的总时间

每路话音信号抽样速率 $f s = 8000 Hz$ ，每帧时间间隔为 $T_{s}=1/f_{s}=125μs$

（2）帧长度：一帧包含多少个信息比特

一帧共有 $n = 32$ 个时间间隔，称为时隙。
每个时隙传输一个PCM码组，为 $m = 8 bi t$ ，一帧共包含 $256$ 个比特。

（3）路时隙：在合路的PAM信号中，每个样值所允许占的时间间隔

$T_{c}=T_{s}/n=125/32=3.91us$

（4）位时隙：一位码所占用的时间

$T_{b}=T_{c}/m=3.91/8=0488us$

（5）信息传输速率：每秒可以传输的平均信息量/比特数

总传输速率： $R_{b}=1/T{b}=m\times n\times f_{s}=8\times 32\times 8000=2048Kbit/s$
一路传输速率： $R_{b}^{1}=R_{b}/n=64Kbit/s$

（6）PCM30/32集群编码

PCM一次群，二次群，三次群均为HDB3码
PCM四次群为CMI码

五、增量调制

1. 差分脉冲编码调制（DPCM）

DPCM提出的目的：利用相邻抽样值之间的相关性，减少信息冗余，获得压缩效果。DPCM是PCM的改进型，是一种预测编码方法。
DPCM方法：对相邻样值的差值进行编码
DPCM的信号量噪比：
显然，若要求DPCM与PCM具有相同的信噪比，则可减少量化器的量化级数，即编码位数减少，比特率降低，带宽减小。

2. 增量调制（ $\Delta M$ ）

（1）增量调制是一种最简单的 DPCM，当DPCM系统中量化电平数取2时，DPCM系统便成为 $\Delta M$ 系统。

PCM用 $N$ 位码表示一个抽样值，反映样值本身的大小； $\Delta M$ 用1位码表示一个抽样值，反映相邻样值相对大小的变化。
与PCM相比， $\Delta M$ 编译码简单，低比特率时的量化信噪比高，抗误码特性好等优点，广泛用在军事和工业部门的专用通信网和卫星通信中。
增量调制波形图：

（2）增量调制系统中的量化噪声

如果输入信号： $m(t)=Asinw_{k}t$ ，则其斜率为： $\frac{dm(t)}{dt}=Aw_{k}cosw_{k}t$
设抽样周期为 $T_{s}$ ，抽样频率为 $f_{s}=1/T_{s}$ ，量化台阶为 $\sigma$ ，则一个阶梯台阶的斜率为 $k=\sigma /T_{s}=\sigma f_{s}$

增量调制系统中的量化噪声
由此可知为了不发生过载，要求信号的最大斜率不超过译码器的最大跟踪斜率。即： $Aw_{k}\le \frac{\sigma }{T}=\sigma \cdot f_{s} \Longrightarrow A_{max}=\frac{\sigma \cdot f_{s}}{w_{k}}$

为了避免过载和增大编码范围，应合理选择 $\sigma$ 和 $f_{s}$ ！

$\sigma$ 选大：有利于减小过载噪声，但一般量化噪声增大。
——原因：简单 $Δ M$ 的量化台阶是固定的，难以使两者都不超过要求。
——解决：采用自适应 $Δ M$ ，使量化台阶随信号的变化而变化。
$f_{s}$ 选大：对减小过载噪声和一般量化噪声都有利。因此，对于语音信号而言， $Δ M$ 的抽样频率在几十千赫 ~ 百余千赫。

（3）编码范围： $A_{min}\sim A_{max}$

起始编码电平： $A_{min}=\sigma /2$
含义：当信号的峰值电压 $> σ /2$ 时，才能正常编码。这时，输出序列才能反映信号的变化情况。
最大编码电平： $A_{max}=\frac{\sigma \cdot f_{s}}{w_{k}}=\frac{\sigma \cdot f_{s}}{2\pi f_{k}}$
可见，当跟踪斜率一定时，允许的信号幅度随信号频率 $w_{k}$ 的增加而减小，这将导致语音高频段的信号量噪比下降。

（4）信号量噪比

信号最大功率：
量化噪声：
最大信号量噪比：在正弦输入信号临界振幅条件下

《通信原理》——5. 信源编码

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