奇异谱分析(SSA)的matlab实现时间序列分解

SSA

前言
一、SSA(Singular Spectrum Analysis)
二、代码实现及案例展示
总结

前言

奇异谱分析（SSA）是主成分分析（PCA）的一个特例，它特别适用于分析一维时间序列，能有效的提取时间序列中的趋势项、周期项、半周期项等有用信号，也可以实现数据的去噪、插值和外推等，是应用极为广泛的一种时间序列分析方法。这里对SSA算法的理解和实现过程进行总结：

一、SSA(Singular Spectrum Analysis)

SSA作为一种应用广泛的算法，网上已经有了很多详细的资料可以参考，这里将步骤进行简单总结。
（1）构建轨迹矩阵

选择合适的窗口长度M，M的选取依照经验应该在区间(1,N/2)内，并且最好为周期的整数倍，这里N是一维时间序列的长度，构建的形式如下：
原始序列： $X_i = \left[ X_1,X_2,X_3,{\ldots} ,X_n \right]$
轨迹矩阵： $X_{MK} = \left[ X_1,X_2,X_3,{\ldots} ,X_K \right] \\ \qquad\qquad\qquad\ \ \ \ = \begin{bmatrix} X_1&X_2&{\ldots} &X_{N-M+1}\\ X_2&X_3&{\ldots} &X_{N-M+2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ X_M&X_{M+1}&{\ldots} &X_N \end{bmatrix}$
其中： $K = N - M + 1$

(2)奇异值分解
首先根据轨迹矩阵X构造协方差矩阵S，然后对S进行SVD分解，得到S的特征值E和特征向量U，E是对角阵要按从大到小的顺序排列。
$S_{MM} = X_{MK} * X^T_{KM} = U_{MM}E_{MM}V_1$
求轨迹矩阵X对应的V值，其中d为X的秩：
$V_{dm}\ \ \ {\Longrightarrow}\ \ V_i = X^T*U_i/\sqrt {E(i,i)}\ \ (i=1,2,{\ldots},d)$
计算得到对应的d个初等矩阵，轨迹矩阵可以由d个初等矩阵X_i线性表示：
$X_{轨迹} ={ \sum_1^dX_i}$
$X_i =\sqrt { \lambda_i}U_i/V_i^T\ \ \ \ \ \lambda_i=\sqrt {E(i,i)}$

(3)分组重构
将具有相同信号的子序列进行叠加，得到表示趋势、周期、半周期、噪声等信号的特殊序列，进而实现了对原始序列的分解。重构原理公式如下：
$y_i = \begin{cases} \frac {1}{i}\displaystyle \sum^{ K}_{M = 1}{X_{M,i-M+1} \qquad\qquad\qquad 1\leq{i}\lt{M}}\\ \frac {1}{M}\displaystyle \sum^{ L}_{M = 1}{X_{M,i-M+1} \qquad\qquad\quad\ \ M\leq{i}\lt{K}}\\ \frac {1}{N-i+1}\displaystyle \sum^{N-K+1}_{M = i-K+1}{X_{M,i-M+1} \qquad K\leq{i}\lt{N}} \end{cases}$

分组重构的关键在于区分同类信号，如果是提取特定序列可以依据加权相关（w-Correlation）进行划分，得到需要的趋势、周期等信号；如果是去噪可以根据贡献度进行重构，贡献度低的子序列认为是噪声，重构的时候忽略这部分子序列即可。

上面是奇异谱分析的原理简述仅供参考，可能有错误、缺失或其他问题。

二、代码实现及案例展示

主程序：

%% 奇异谱分析
clear;
%% 模拟时间序列，分别模拟出周期、趋势和噪声项
n = 132*5; 
ntest = 48;
x = 1:n;

% 周期信号
a1 = cos(2*pi*x/12) + 0.6 * sin(2*pi*x/24);
figure(1)
subplot(2,2,1)
plot(x,a1); 
title('a1 周期信号')

% 趋势信号
subplot(2,2,2);
x2=0.14;
a2 = mapminmax(x2 * x,0,1);
plot(x,a2);
title('a2 趋势信号')

% 随机信号(0-1的随机值)
subplot(2,2,3)
a3 = rand(1,n);
plot(x,a3);
title('a3 随机信号')

% 三种信号叠加 生成模拟信号
subplot(2,2,4) 
a41 = 2 .* a1 + 5 * a2 + 3.2 * a3; % 3 周期 + 趋势 + 随机
plot(x,a41);
title('a4 叠加序列')

y = a41;
n = length(y); %序列长度
l = 10;        %输出窗口长度L
[y1,lamuda]=SSA_function(y,n,l);         %进行奇异谱分析得到L个初等矩阵
ref = 0.95;
[x] = Contribution_rate(lamuda,l,ref);   %根据贡献率选择重构阶数，阈值根据需求设置
[coll] = w_collelation(y1,l,n);          %权相关分析得到w-correlation图
figure(2)
heatmap(coll);

yout = zeros(1,n);
for i=1:x
   yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:); 
end
figure(3)
plot(1:n,y,'-r',1:n,yout,'-g')

%% 输出趋势项()
prompt = '趋势项阶数: ';              %根据w-collelation图输入重构阶数
x = input(prompt);                       %根据权重图选择要重构信号
yout = zeros(1,n);
for i=1:x
   yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:); 
end
figure(4)
plot(1:n,yout,'-r')
%% 输出周期项
prompt = '输出周期项: ';              %根据w-collelation图输入重构阶数
x2 = input(prompt);                       %根据权重图选择要重构信号
yout = zeros(1,n);
for i=x+1:x2
   yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:); 
end
figure(5)
plot(1:n,yout,'-g')
%% 输出半周期项
prompt = '输出半周期项: ';              %根据w-collelation图输入重构阶数
x3 = input(prompt);                       %根据权重图选择要重构信号
yout = zeros(1,n);
for i=x2+1:x3
   yout(1,:) = yout(1,:) + y1(i,:); 
end
figure(6)
plot(1:n,yout,'-g')

相关函数

%% 奇异谱分析函数
%x 原始时间序列；n一维时间序列x的维度；l窗口长度(为周期的整数倍，不超过n/2)
% 返回的y的维度是[窗口长度l*序列长度n],表示l个初等矩阵；
function [y,lamuda]=SSA_function(x,n,l)
    % Step1 : 建立时滞矩阵
    k1=n-l+1;
    X2=zeros(l,k1);
    for i=1:k1
        X2(1:l,i)=x(i:l+i-1);
    end
    % Step 2: 奇异值分解
    x3=X2*X2';
    [U,S,V] = svd(x3);
    for i=1:l
        V1(:,i) = X2'*U(:,i)/sqrt(S(i,i)); 
    end
    %初等矩阵重构得到l个时间序列；
    y = zeros(l,n);
    Lp=min(l,k1);
    Kp=max(l,k1);
    for i=1:l
        xi = sqrt(S(i,i)) * U(:,i) * V1(:,i)';
        y1=zeros(n,1);
        for k=0:Lp-2
            for m=1:k+1
                y1(k+1)=y1(k+1)+(1/(k+1))*xi(m,k-m+2);
            end
        end
        %重构 Lp~Kp
        for k=Lp-1:Kp-1
            for m=1:Lp
                y1(k+1)=y1(k+1)+(1/(Lp))*xi(m,k-m+2);
            end
        end
        %重构 Kp+1~N
        for k=Kp:n-1
            for m=k-Kp+2:n-Kp+1
                y1(k+1)=y1(k+1)+(1/(n-k))*xi(m,k-m+2);
            end
        end 
        y(i,:) = y1(:,1);
    end
    %将特征值输出一列
    %lamuda = zeros(l,1)
    for i = 1:l 
        lamuda(i,1) = S(i,i);
    end
end

%% 权相关
function [coll] = w_collelation(y,l,n)
    k = n-l+1;
    coll = zeros(l,l);
    for i =1:l
        for j =1:l
            if l<k
                xfc = 0.0;
                xfx = 0.d0;
                xfy = 0.0;
                for h=1:n
                    if h >= 1 && h<l
                        w = h;
                    elseif h >= l && h<k
                        w=l;
                    elseif h >= k && h<=n
                        w = n-h+1;
                    end
                    xfc = xfc + w*y(i,h)*y(j,h);
                    xfx = xfx + w *y(i,h)^2;
                    xfy = xfy + w * y(j,h)^2;
                end
                coll(i,j) = xfc/(sqrt(xfx)*sqrt(xfy));
            end
        end
    end
end     

%% 计算奇异值的贡献率
function [n,array2] = Contribution_rate(lamuda,l,ref) %输入奇异值、窗口长度、阈值(0,1)
    sum1 = sum(lamuda(:));
    for i=1:l
        sum2 = sum(lamuda(1:i));
        num = sum2/sum1;
        array2(i) = num;
        if num >= ref
            n = i;
            break
        end
    end
end