【数据结构】树（七）—— 哈夫曼树（C语言版）
前言
本章主要介绍下树结构的典型应用——哈夫曼树与哈夫曼编码。
一、哈夫曼树的定义
路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。图 1 中，从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。
路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。例如在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图 1 中从根结点到结点 c 的路径长度为 3。
结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。例如，图 1 中结点 a 的权为 7，结点 b 的权为 5。
结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例如，图 1 中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 = 10 。
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。
WPL 的计算公式为：
W
P
L
=
∑
i
=
1
n
w
i
l
i
WPL=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{w}_{i}}{{l}_{i}}}
WPL=i=1∑nwili
例如图 1 中所示的这颗树的带权路径长度为：
WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3
相同叶子结点构成的二叉树的带权路径长度可能相同也可能不同。
在含有 n 个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL)最小的二叉树称为哈夫曼树,也称最优二叉树。
二、哈夫曼树的构造过程描述
给定 n 个权值分别为 w 1 , w 2 , … , w n w_1, w_2,…,w_n w1,w2,…,wn,的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:
- 将这 n 个结点分别作为 n 棵仅含一个结点的二叉树，构成森林 F。
- 构造一个新结点，从 森林 F 中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
- 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。
- 重复步骤 （2）和（3），直至森林 F 中只剩下一棵树为止。
三、哈夫曼树的特点
从上述构造过程中可以看出哈夫曼树具有如下特点：
- 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
- 构造过程中共新建了
n-1个结点（双分支结点)，因此哈夫曼树的结点总数为2n-1。 - 每次构造都选择 ⒉棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树中不存在度为 1 的结点。
- 哈夫曼树并不唯一，但 WPL 必然相同且为最优。
四、哈夫曼树的应用——哈夫曼编码
1. 各类编码定义
- 在数据通信中,若对每个字符用相等长度的二进制位表示,称这种编码方式为固定长度编码。
- 若允许对不同字符用不等长的二进制位表示，则这种编码方式称为可变长度编码。
可变长度编码比固定长度编码要好得多，其特点是对频率高的字符赋以短编码，而对频率较低的字符则赋以较长一些的编码，从而可以使字符的平均编码长度减短，起到压缩数据的效果。
哈夫曼编码是一种被广泛应用而且非常有效的数据压缩编码。
- 若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码。
举例:设计字符 A,B 和 C 对应的编码 0, 101 和 100 是前缀编码。对前缀编码的解码很简单，因为没有一个编码是其他编码的前缀。所以识别出第一个编码，将它翻译为原码，再对余下的编码文件重复同样的解码操作。例如，码串 00101100 可被唯一地翻译为 0,0,101 和 100。另举反例:如果再将字符 D 的编码设计为 00，此时 0 是 00 的前缀，那么这样的码串的前两位就无法唯一翻译。
2. 哈夫曼编码的构造
首先,将每个出现的字符当作一个独立的结点,其权值为它出现的频度（或次数)，构造出对应的哈夫曼树。
注意：哈夫曼树不唯一，因此哈夫曼编码也不唯一
注意:0和1究竟是表示左子树还是右子树没有明确规定。左、右孩子结点的顺序是任意的,所以构造出的哈夫曼树并不唯一，但各哈夫曼树的带权路径长度 WPL 相同且为最优。此外，如有若干权值相同的结点，则构造出的哈夫曼树更可能不同，但 WPL 必然相同且是最优的。
五、哈夫曼树的编程实现
1. 哈夫曼树的结点结构
构建哈夫曼树时，首先需要确定树中结点的构成。由于哈夫曼树的构建是从叶子结点开始，不断地构建新的父结点，直至树根，所以结点中应包含指向父结点的指针。但是在使用哈夫曼树时是从树根开始，根据需求遍历树中的结点，因此每个结点需要有指向其左孩子和右孩子的指针。
//哈夫曼树结点结构
typedef struct {
int weight;//结点权重
int parent, left, right;//父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
}HTNode, *HuffmanTree;
2. 构建哈弗曼树的算法实现
构建哈夫曼树时，需要每次根据各个结点的权重值，筛选出其中值最小的两个结点，然后构建二叉树。
查找权重值最小的两个结点的思想是：从树组起始位置开始，首先找到两个无父结点的结点（说明还未使用其构建成树），然后和后续无父结点的结点依次做比较，有两种情况需要考虑：
- 如果比两个结点中较小的那个还小，就保留这个结点，删除原来较大的结点；
- 如果介于两个结点权重值之间，替换原来较大的结点；
//HT数组中存放的哈夫曼树，end表示HT数组中存放结点的最终位置，s1和s2传递的是HT数组中权重值最小的两个结点在数组中的位置
void Select(HuffmanTree HT, int end, int *s1, int *s2)
{
int min1, min2;
//遍历数组初始下标为 1
int i = 1;
//找到还没构建树的结点
while(HT[i].parent != 0 && i <= end){
i++;
}
min1 = HT[i].weight;
*s1 = i;
i++;
while(HT[i].parent != 0 && i <= end){
i++;
}
//对找到的两个结点比较大小，min2为大的，min1为小的
if(HT[i].weight < min1){
min2 = min1;
*s2 = *s1;
min1 = HT[i].weight;
*s1 = i;
}else{
min2 = HT[i].weight;
*s2 = i;
}
//两个结点和后续的所有未构建成树的结点做比较
for(int j=i+1; j <= end; j++)
{
//如果有父结点，直接跳过，进行下一个
if(HT[j].parent != 0){
continue;
}
//如果比最小的还小，将min2=min1，min1赋值新的结点的下标
if(HT[j].weight < min1){
min2 = min1;
min1 = HT[j].weight;
*s2 = *s1;
*s1 = j;
}
//如果介于两者之间，min2赋值为新的结点的位置下标
else if(HT[j].weight >= min1 && HT[j].weight < min2){
min2 = HT[j].weight;
*s2 = j;
}
}
}
注意：s1和s2传入的是实参的地址，所以函数运行完成后，实参中存放的自然就是哈夫曼树中权重值最小的两个结点在数组中的位置。
构建哈弗曼树的代码实现如下：
//HT为地址传递的存储哈夫曼树的数组，w为存储结点权重值的数组，n为结点个数
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree *HT, int *w, int n)
{
if(n<=1) return; // 如果只有一个编码就相当于0
int m = 2*n-1; // 哈夫曼树总节点数，n就是叶子结点
*HT = (HuffmanTree) malloc((m+1) * sizeof(HTNode)); // 0号位置不用
HuffmanTree p = *HT;
// 初始化哈夫曼树中的所有结点
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
(p+i)->weight = *(w+i-1);
(p+i)->parent = 0;
(p+i)->left = 0;
(p+i)->right = 0;
}
//从树组的下标 n+1 开始初始化哈夫曼树中除叶子结点外的结点
for(int i = n+1; i <= m; i++)
{
(p+i)->weight = 0;
(p+i)->parent = 0;
(p+i)->left = 0;
(p+i)->right = 0;
}
//构建哈夫曼树
for(int i = n+1; i <= m; i++)
{
int s1, s2;
Select(*HT, i-1, &s1, &s2);
(*HT)[s1].parent = (*HT)[s2].parent = i;
(*HT)[i].left = s1;
(*HT)[i].right = s2;
(*HT)[i].weight = (*HT)[s1].weight + (*HT)[s2].weight;
}
}
注意，如果使用此程序，对权重值分别为 2、8、7、6、5 的节点构建哈夫曼树，最终效果如图 4(A) 所示。但其实，图 4(B) 中显示的哈夫曼树也满足条件，这两棵树的带权路径长度相同。
之所以使用此程序构建的哈夫曼树，是图 4(A) 而不是 4(B)，是因为在构建哈夫曼树时，结点 2 和结点 5 构建的新的结点 7 存储在动态树组中位置，比权重值为 7 节点的存储位置还靠后，所以，在程序继续选择两个权值最小的结点时，直接选择了的叶子结点 6 和 7 。
