◆
输入输出描述法
描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系
模拟系统：微分方程描述
离散时间系统：差分方程描述
线性时不变系统：常用线性常系数差分方程
◆ 一个
N阶线性常系数差分方程用下式表示：
(2.3.1)
或者
(2.3.2)
(2.3.2)
式中
和
均为常数
和
均为常数
➢
线性
：式中
y(
n-
k)和
x(
n-
i)项只有一次幂，也没有相
(2.3.1)
(2.3.2)
和例2.3.1(2)相同，输出
通式为：
互交叉项，故称为线性常系数差分方程
➢
阶数
：由方程
y(
n-
k)项中
k的取值最大与最小之差确定。在(2.3.2)式中，
y(
n-
k)项
k最大的取值为
N，
k的 最小取值为零，因此称为
N 阶差分方程。
◆ 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可求输出序列
◆ 求解差分方程的基本方法有：
➢ 变换域方法：
Z变换
➢ 时域解法
经典解法：闭合形式的解（齐次解和特解），应用少。
递推解法：数值解（本节详细讨论）
已知：输入序列和
N个初始条件
求解：
n时刻的输出，并递推求出
n+1时刻的输出
◆ 差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程
(2.3.1)
(2.3.2)
◆
重点：讨论初始条件对线性、时不变性、因果性、稳定性的影响
例 2.3.1 设系统用差分方程
y(
n)=
ay(
n-1)+
x(
n)描述，输入序列
x(
n)=
δ(
n)，求输出序列
y(
n)
解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件
(1)
设初始条件
y(-1)=0
y
(
n
)=
a
y(
n
-1)+
x
(
n
)
n=0时，
y(0)=
ay(0-1)+
x(0)=
ay(-1)+
δ(0)=1
n=1时，
y(1)=
ay(1-1)+
x(1)=
ay(0)+
δ(1)=a
n=2时，
…
n=
n时，
(2)
设初始条件
y
(-1)=1
n=0时，
y(0)=
ay(-1)+
δ(0)=1+
a
n=1时，
y(1)=
ay(0)+
δ(1)=(1+
a)
a
n=2时，
…
n=
n时，
◆
分 析
对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的
对于
实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向
n>0的方向递推，是一个因果解
但对于
差分方程，其本身也可以向
n<0的方向递推，得到的是非因果解
结论1：差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制(因果性：在
n<0时，没有加入信号， 输出只能等于零)
结论2：线性常系数差分方程描述的系统并不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关
例2.3.2 设系统用一阶差分方程
y(
n)=
ay(
n-1)+
x(
n)描述，初始条件
y(-1)=1，试分析该系统是否是线性时不变系统
下面通过设输入信号
，
和
来检验系统是否是线性时不变
，
和
来检验系统是否是线性时不变
(1)
x
1
(
n
)=
δ
(
n
)，
和例2.3.1(2)相同，输出
通式为：
(3)
;
;
n=0时，
n=1时，
n=2时，…
n=
n时，
…
◆采用线性常系数差分方程描述系统时，如果没有附加的约束条件，则它不能唯一地确定一个系统的输
入和输出关系，也不能保证系统一定是线性时不变系统
◆约定：凡用线性常系数差分方程所描述的系统都是指线性时不变系统
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