2022.12将出版蓝桥杯大赛用书《蓝桥杯大赛-程序设计竞赛专题挑战教程》，作者：蓝桥杯组委会、罗勇军。
  这本书解析了蓝桥杯大赛的常见考点，所有例题用C/C++、Python两种语言给出代码，适合C/C++组和Python组入门。
  本文的内容摘抄自这本书。

1、DFS搜所有路径

  DFS是一种暴力搜索，它能搜所有可能的情况。
  蓝桥杯大赛常常涉及到路径问题，需要用DFS寻找路径和输出路径，一般是输出一条符合要求的路径。
  DFS的特点是“一路到底”，遇到终点时，就得到了从起点到终点的一条路径。所以搜所有路径用DFS写代码最方便。下面看DFS如何找到所有的路径。
  图中，'@‘表示起点，’*‘表示终点，’.‘是可以走的点，’#'是墙壁不能走。

  图(1)是搜到的第一条路径。从起点(1, 1)出发，查询它的“左-上-右-下”哪个方向能走，发现“左-上”不能走，可以走“右”。第一步走到右边的(2,1)。然后从(2, 1)继续走，它可以向上走到(2, 0)，但是后面就走不通了，退回来改走下面的(2, 2)。按这个方法，逐步深入走到终点，最后得到一条从起点(1, 1)到终点(0, 2)的路径“(1,1)->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)”。后面C++代码中的a[nx][ny] = '#'的作用是“保存现场”。在这次DFS深入过程中，这条路径上曾经路过的点被“保存现场”，不允许再次经过。到达终点后，从终点退回，回溯寻找下一个路径。代码中的a[nx][ny] = '.'的作用是退回后“恢复现场”。
  图(2)是搜到的第二条路径。在图(1)搜到一条路径后，从终点(0, 2)退回到(1, 2)，继续向下走到(1, 3)、(0, 3)、(0, 2)。
  图(3)是搜到的第三条路径。从终点(0, 2)一路退回到(2, 2)后，才找到新路径。在退回的过程中，原来被“保存现场的”(0, 3)、(1, 3)、(0, 2)，重新被“恢复现场”，允许被经过。例如(1, 3)，在第二条路径中曾用过，这次再搜新路径时，在第三条路径中重新经过了它。如果不“恢复现场”，这个点就不能在新路径中重新用了。
  总结“保存现场”和“恢复现场”的作用：
  （1）“保存现场”的作用，是禁止重复使用。当搜索一条从起点到终点的路径时，这条路径上经过的点，不能重复经过，否则就兜圈子了，所以路径上的点需要“保存现场”，禁止再经过它。没有经过的点，或者碰壁后退回的点，都不能“保存现场”，这些点可能后面会进入这条路径。
  （2）“恢复现场”的作用。当重新搜新的路径时，方法是从终点（或碰壁的点）沿着旧路径逐步退回，每退回一个点，就对这个点“恢复现场”，允许新路径重新经过这个点。例如图(2)和图(3)的点(1, 3)。

2、用栈记录和输出路径

  在DFS中，用栈来跟踪DFS的过程，记录走过的路径，是最方便的。DFS到某个格子时，把这个格子放到栈里，表示路径增加了这个格子。DFS回溯的时候，退出了这个格子，表示路径上不再包括这个格子，需要从栈中弹走这个格子。

3、例题

  下面是本文自创的例题，演示上述的两个功能：
  （1）用DFS搜索从起点到终点的所有路径；
  （2）用栈记录路径。

例题：输出所有路径
【题目描述】给出一张格子图，输出从起点到终点的所有路径。
【输入描述】第一行是整数n，m，分别是行数和列数。后面n行，每行m个符号。只有两种符号：’•’能走，’#’是墙壁不能走。在每一步，都按左-上-右-下的顺序搜索。左上角是起点，坐标(0, 0)，右下角是终点，坐标(n-1, m-1)。
【输出描述】输出所有的路径。为了方便表示，约定每个小格子用一个数字代表，从西北角（左上角）开始编号: 0, 1, 2, 3…
【样例输入1】

3 2
..
..
..

【样例输出1】

0 2 4 5 
0 2 3 5 
0 1 3 2 4 5 
0 1 3 5

【样例输入2】

3 4
....
..#.
....

【样例输出2】

0 4 8 9 5 1 2 3 7 11 
0 4 8 9 10 11 
0 4 5 1 2 3 7 11 
0 4 5 9 10 11 
0 1 5 4 8 9 10 11 
0 1 5 9 10 11 
0 1 2 3 7 11 

3.1 C++代码

  下面代码中的函数dfs()搜索出所有代码，并打印出来。
  vector<int>path是一个栈，用于记录路径。在dfs()函数的开始，到达出口时，就根据path打印出路径。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
char a[25][25];   //存储格子图
vector<int> path;                    //path是一个栈，记录路径
int dir[4][2]={{-1,0},{0,-1},{1,0},{0,1}};   //4个方向：左、上、右、下

void dfs(int x,int y){
    if(x==n-1 && y==m-1){          //终止条件：到达出口
         for(int i = 0;i < path.size();i++)
            cout << path[i] <<" ";
         cout<<endl;
         return;
    }
    for(int i = 0;i < 4;i++){
        int nx = x + dir[i][0],ny = y + dir[i][1];
        if(nx>=0 && nx<n && ny>=0 && ny<m && a[nx][ny]=='.'){
            a[nx][ny]='#';
            path.push_back(nx*m + ny); //进栈，记录路径
            dfs(nx,ny);
            path.pop_back();           //出栈，DFS回溯
            a[nx][ny]='.';
        }
    }
}
int main(){
    cin >> n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            cin>>a[i][j];
    path.push_back(0);
    a[0][0]='#';
    dfs(0,0);
    return 0;
}

3.2 Python代码

  下面的Python代码和上面的C++代码逻辑一样。注意它使用栈的方法，用一个list数组 path=[]模拟栈。

def dfs(x,y):    
    if x==n-1 and y==m-1:    #到达终点
        for i in range(len(path)): print(path[i],end=' ')
        print()  #换行
        return
    dir = ((-1, 0), (0, -1),(1, 0),  (0, 1)) #4个方向：左、上、右、下
    for u,v in dir:  #遍历4个方向的邻居
        nx = x+u; ny = y+v    #邻居的坐标
        if 0<=nx<n and 0<=ny<m and a[nx][ny]=='.':    
            a[nx][ny]='#'          #保存现场：这个点在这次更深的dfs中不能再用
            path.append(nx*m + ny) #进栈，把这个点记录到路径里
            dfs(nx, ny)
            path.pop();            #出栈，释放这个点
            a[nx][ny]='.'          #恢复现场：回溯后这个点可以再次用

n,m = map(int, input().split())    #n行、m列
a=[]
for i in range(n):                 #读图，存到二维矩阵a[n][m]，n行m列
    a.append(list(input()))
path = []                          #用栈记录路径
path.append(0)
a[0][0]='#'
dfs(0,0)

4、真题

  下面的真题，是上面讲解的知识点的直接应用。

路径之谜 2016年第七届决赛，lanqiaoOJ第89题 https://www.lanqiao.cn/problems/89/learning/
【题目描述】小明冒充X星球的骑士，进入了一个奇怪的城堡。城堡里边什么都没有，只有方形石头铺成的地面。假设城堡地面是n×n个方格。按习俗，骑士要从西北角走到东南角。可以横向或纵向移动，但不能斜着走，也不能跳跃。每走到一个新方格，就要向正北方和正西方各射一箭。（城堡的西墙和北墙内各有n个靶子）同一个方格只允许经过一次。但不必走完所有的方格。如果只给出靶子上箭的数目，你能推断出骑士的行走路线吗？本题的要求就是已知箭靶数字，求骑士的行走路径（测试数据保证路径唯一）
【输入格式】第一行一个整数N(0<N<20)，表示地面有N×N个方格；第二行N个整数，空格分开，表示北边的箭靶上的数字（自西向东）；第三行N个整数，空格分开，表示西边的箭靶上的数字（自北向南）。
【输出格式】一行若干个整数，表示骑士路径。为了方便表示，我们约定每个小格子用一个数字代表，从西北角（左上角）开始编号: 0, 1, 2, 3…

  又是一道格子搜索题，这种题在蓝桥杯大赛中很常见。
  题目要求输出一条路径，用DFS是很合适的，DFS搜索过程中，自然生成一条路径。
  每走到一个格子，对应的靶子上箭多一支，靶子上的箭等于给定的数字后，就不用再DFS下去了。这是一个简单的剪枝。
  注意DFS时记录路径的技巧。根据题目的要求，用栈来跟踪DFS的过程，记录DFS走过的路径，是最方便的。DFS到某个格子时，把这个格子放到栈里，表示路径增加了这个格子。DFS回溯的时候，退出了这个格子，表示路径上不再包括这个格子，需要从栈中弹走这个格子。

4.1 C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[25],b[25],vis[25][25];
vector<int> path;                  //记录路径
int d[4][2]={1,0,-1,0,0,1,0,-1};   //上下左右
void dfs(int x,int y){
    if(a[x]<0 || b[y]<0) return;   //剪枝
    if(x==n-1 && y==n-1){          //走到出口
        int ok=1;
        for(int i = 0;i < n;i++)
            if(a[i]!=0 || b[i]!=0){ ok=0; break;}
        if(ok)
            for(int i = 0;i < path.size();i++)   cout << path[i] <<" ";
    }
    for(int i = 0;i < 4;i++){
        int tx = x + d[i][0],ty = y + d[i][1];
        if(vis[tx][ty]==0 && tx>=0 && tx<n && ty>=0 && ty<n){
            vis[tx][ty]=1;
            path.push_back(tx*n + ty); //进栈，记录路径
            a[tx]--;    b[ty]--;
            dfs(tx,ty);
            path.pop_back();           //出栈，DFS回溯
            a[tx]++;    b[ty]++;
            vis[tx][ty]=0;
        }
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin >> b[i];  //北面靶子
    for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i];  //西面靶子
    path.push_back(0);
    vis[0][0]=1;
    a[0]--;  b[0]--;
    dfs(0,0);
    return 0;
}

4.2 Python代码

def dfs(x,y):
    if a[x]<0 or b[y]<0: return
    if x==n-1 and y==n-1:
        ok=1
        for i in range(n):
            if a[i]!=0 or b[i]!=0: ok=0; break
        if ok==1:
            for i in range(len(path)): print(path[i],end=' ')
    for d in [(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)]:
        tx = x+d[0]; ty = y+d[1]
        if 0 <= tx < n and 0 <= ty < n and vis[tx][ty] == 0:
                vis[tx][ty] = 1
                path.append(tx*n + ty)      #进栈，记录路径
                a[tx] -= 1; b[ty] -= 1
                dfs(tx, ty)
                path.pop();                 #出栈，DFS回溯
                a[tx] += 1;  b[ty] += 1
                vis[tx][ty] = 0

n = int(input())
vis = [[0]*n for i in range(n)]
path = []               #用栈记录路径
path.append(0)
b = list(map(int,input().split()))
a = list(map(int,input().split()))
vis[0][0]=1
a[0] -= 1;  b[0] -= 1
dfs(0,0)