插值与图像插值

• 插值：利用已知数据去预测位置数据。
• 图像插值：给定一个像素点，根据它周围像素点的信息来对该像素点的值进行预测。

  图像插值问题类似于拟合问题，二者均为函数逼近或数值逼近的重要组成部分。但是两者的在于：对于给定的函数，插值：要求离散点“坐落在”函数曲线上从而满足约束；而 拟合：则希望离散点尽可能地 “逼近” 函数曲线。

图像插值示例（三倍放大）：
  对于原图像的坐标点 (红色实心点)，其在新图像上都能确定一一对应的坐标点 (红色实心点)。而对于新图像中因放大而的多出坐标点 (蓝色圈叉)，则在原图像中找不到对应点了。
  插值技术就是通过某些规则/规范/约束（特定的拟合函数），获取这些多出坐标点的像素值。
一维示例：

• $(x_{i-1},f(x_{i-1}))、(x_i,f(x_i))、(x_{i+1},f(x_{i+1}))$：已知的三个离散点坐标
• $f(x)$：插值算法的约束条件。
  如果想得到更密集、更精细的点，则可以给定坐标 $x^1$ ，根据插值约束$f(x)$得到对应的函数值 $f(x^1)$。
  
  总而言之，不同的插值方式，就是通过给定不同的插值函数约束，来得到不同的插值结果。

不同的插值方法

最近邻域插值（Nearest Neighbor Interpolation）

• 一维示意图
  
    坐标轴上各点 $x_{i-1}，x_i，x_{i+1}...$两两对半等分间隔 (红色虚线划分)，从而非边界的各坐标点都有一个等宽的邻域，并根据每个坐标点的值构成一个类似分段函数的函数约束，从而使各插值坐标点的值等同于所在邻域原坐标点的值。

• 二维示意图
  
    $(x_0,y_0)、(x_0,y_1)、(x_1,y_0)、(x_1,y_1)$都是原图像上的坐标点，灰度值分别对应为 Q11、Q12、Q21、Q22。而灰度值未知的插值点 (x, y)，根据最近邻插值方法的约束，其与坐标点 (x0, y0) 位置最接近 (即位于 (x0, y0) 的邻域内)，故插值点 (x, y) 的灰度值 P = Q11。

• 简而言之
  最近邻于插值：根据周围至少一个已知像素点，未知像素点x距离哪个已知像素点最近，他的像素值就是离已知像素点的像素值。
  

线性插值 (Linear Interpolation)

• 一维示意图
  
    坐标轴上各点 $x_{i-1}，x_i，x_{i+1}...$的值“两两直接相连”为线段，从而构成了一条连续的约束函数。而插值坐标点例如 x，根据约束函数其值应为 f(x)。

• 二维示意图
  
    $(x_0,y_0)、(x_1,y_1)$都是原图像上的坐标点，灰度值分别对应为 y0 和 y1。而灰度值未知的插值点 x，在$(x_0,y_0)、(x_1,y_1)$构成的一次函数上，其灰度值 y 即为：
  $$y=y_0+(x-x_0)\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$

• 简而言之
  线性插值：根据周围至少两个已知像素点，来构造一个线性函数，将未知像素点x带入，从而求出该未知像素点的像素值。

双线性插值 (Bilinear Interpolation)

• 定性斜视示意图
  
    坐标轴上$(x_0,y_0)、(x_0,y_1)、(x_1,y_0)、(x_1,y_1)$均为原图像上的像素坐标点，灰度值分别对应为 $f(x_0,y_0)、f(x_0,y_1)、f(x_1,y_0)、f(x_1,y_1)$。而灰度值未知的插值点 (x, y)，根据双线性插值法的约束：

  1. 先由$(x_0,y_0)和(x_0,y_1)$在 y 轴向作一维线性插值得到 像素点$(x_0,y)$的像素值$f(x_0,y)$、由像素坐标点 $(x_1,y_0)和(x_1,y_1)$ 在 y 轴向作一维线性插值得到 像素点$(x_1,y)$的像素值$f(x_1,y)$。
  2. 再由 $(x_0,y)和(x_1,y)$在 x 轴向作一维线性插值得到插值点 $(x,y)$ 的像素值 $f(x,y)$。（ 一维线性插值先作 x 轴向再作 y 轴向，得到的结果完全相同，仅为顺序先后的区别）

• 二维定量俯视示意图
  

（这里： 一维线性插值先作 x 轴向再作 y 轴向）

1. 先由像素坐标点$(x_0,y_0)和(x_1,y_0)$在 x轴向作一维线性插值得到 像素点$(x,y_0)$的像素值$f(x_0,y)$：
   $$f(x,y_0)=\frac{x_1-x}{x_1-x_0}f(x_0,y_0)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1,y_0)$$
   由像素坐标点 $(x_0,y_1)和(x_1,y_1)$ 在 x 轴向作一维线性插值得到 像素点$(x,y_1)$的像素值$f(x_1,y)$:
   $$f(x,y_1)=\frac{x_1-x}{x_1-x_0}f(x_0,y_1)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1,y_1)$$
2. 再由 $(x,y_0)和(x,y_1)$在 y 轴向作一维线性插值得到插值点 $(x,y)$ 的像素值 $f(x,y)$：
   $$f(x,y)=\frac{y_1-y}{y_1-y_0}f(x,y_0)+\frac{y-y_0}{y_1-y_0}f(x,y_1)$$

• 简而言之
  线性插值：根据周围至少四个已知像素点，先将四个像素点两两在x轴作线性插值，得到未知像素y轴方向的两个像素值，然后将其在y轴作线性插值，最终得到目标像素点的像素值
  

双三次插值 (Bicubic Interpolation)

  插值点 (x, y) 的像素值 f(x, y) 通过矩形网格中 最近的十六个采样点的加权平均 得到，而 各采样点的权重由该点到待求插值点的距离确定，此距离包括 水平和竖直 两个方向上的距离。

• 二维俯视示意图
  
    设待求插值点坐标为 (i+u, j+v)，已知其周围的 16 个像素坐标点 (网格) 的灰度值，还需要计算 16 个点各自的权重。
    以像素坐标点 (i, j) 为例，因为该点在 y 轴和 x 轴方向上与待求插值点 (i+u, j+v) 的距离分别为 u 和 v，所以的权重为 w(u) × w(v)，其中 w(·) 是插值权重核 (可以理解为定义的权重函数)。同理可得其余 15 个像素坐标点各自的权重。那么，待求插值点 (i+u, j+v) 的灰度值 f(i+u, j+v) 将通过如下计算得到：
  $$f(i+u,j+v)=A\times B\times C$$
  其中，各项由向量或矩阵表示：
  d1
  
  
  
  插值权重核W(·)为：
  $$W(x)=\{\begin{array}{ll}(a+2)|x{|}^3-(a+3)|x{|}^3+1& for|x|⩽1\\ a|x{|}^3-5a|x{|}^2+8a|x|-4a& for1<|x|<2\\ 0& otherwise\end{array}，a通常取-0.5$$

当a = -0.5时， W(·)为：
$$W(x)=\{\begin{array}{ll}1.5|x{|}^3-2.5|x{|}^3+1& for|x|⩽1\\ -0.5|x{|}^3+2.5|x{|}^2-4|x|+2& for1<|x|<2\\ 0& otherwise\end{array}，a通常取-0.5$$

参考链接:

双三次插值算法(bicubic interpolation)与图形学和计算方法的关系

【图像处理】详解 最近邻插值、线性插值、双线性插值、双三次插值