前言

总结运算放大器噪声指标的基本理论、计算方法。这一部分涉及到的内容较多，且非常枯燥，即使是阅读杨建国老师的书，不熟练时仍会觉得眼花缭乱，因此需要耐下心来，仔细学习，硬着头皮啃也要啃下来。

总结自《你好，放大器》、《德州仪器高性能模拟器件高校应用指南》，以及 TI 高精度实验室课程内容。

一、噪声概述

1.1 噪声的定义与特点

噪声可以定义为一个不希望出现的信号，它掺杂在想要的信号中，从而引起误差。举个例子，在音频中噪声可以表现为丝丝声或者是爆破声，在一个传感器系统中，噪声可以表现为测量到的压力，或者是温度信号的误差。噪声具备以下特点：

1. 它的波形在任意时刻都是不确定的，因此它是广谱的，有低频也有高频；
2. 它的幅度又是有限制的，这与数学上的高斯分布近似但不完全一致；
3. 它具有无限积分趋零性；
4. 具有短时波动性以及长期稳定性。

1.2 噪声分类

噪声可以归为两种类别：extrinsic noise 外部噪声，intrinsic noise 固有噪声。

外部噪声是指由于外部电路或者是自然因素导致的噪声，例如手机 60 赫兹的电力线噪声和干扰，就是常见的外部噪声；宇宙辐射则是一个由于自然因素，引起外部噪声的例子；固有噪声是由电路的元器件引起的，比如电阻和半导体器件都可以产生噪声。固有噪声是可估计的，而外部噪声则很难估计。因此计算时，主要针对固有噪声。

运放常见的噪声根源有两类，一类为 1/f 噪声，又称为闪烁噪声、低频噪声，其电压噪声密度曲线随着频率的上升而下降；一类为白噪声，又称为平坦噪声、宽带噪声、约翰逊噪声、热噪声、电阻噪声，其电压噪声密度曲线是一条直线，与频率无关。

还有一类噪声是突发噪声，或者叫 popcorn noise 爆米花噪声。爆米花噪声表现为电压或者电流的跳变，通常频率在 0.1 到 1k 赫兹的范围内，之所以叫这个名字是因为当用扬声器播放它的时候，听起来就像是爆米花在跳动。爆米花噪声是由于半导体材料中的细微缺陷导致的，但是我们无法用数学方法估计得到这个噪声。

运放组成的放大电路，在正常工作时，其输出必然包含具有确定有效值的噪声。有的电路输出噪声大，有的很小，这取决于器件的选择、电路的设计，以及环境。对一个给定的电路以及确定的环境，其输出噪声的大小是可以计算出来的。一般计算时，对于运放的噪声，计算 1/f 噪声和白噪声即可。

二、噪声密度及噪声有效值计算

2.1 1/f 噪声有效值计算

所谓的 1/f 噪声，是说噪声密度曲线与频率之间的关系满足 1/f 规律。在 1Hz 处，设 1/f 噪声的电压密度为 C，C的单位为 V/√Hz ，其电压密度随频率变化的表达式为：

$$D_{U-1f}(f)=\sqrt{C^2\frac{1Hz}{f}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

在一个规定的频率范围内，1/f 噪声电压有效值为：

$$U_{N-1f}=C\sqrt{1Hz}\sqrt{ln\frac{f_b}{f_a}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2 白噪声有效值计算

所谓的白噪声，是指噪声电压密度恒定，与频率无关。因此，其噪声电压密度为：

$$D_{U-wh}(f)=K\text{\hspace{1em}(3)}$$

K的单位同样为 V/√Hz 。在一个规定的频率范围内，白噪声电压有效值为：

$$U_{N-wh}=K\sqrt{f_b-f_a}\text{\hspace{1em}(4)}$$

2.3 总噪声有效值计算

运放的等效输入噪声由 1/f 噪声和白噪声合并形成，它们是不相关的。运放的等效输入噪声等于 1/f 噪声有效值和白噪声有效值的平方和开根号，计算式为：

$$U_{N-I}=\sqrt{U_{N-1f}^2+U_{N-wh}^2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

三、从噪声电压密度曲线中获得 C 和 K

运放生产厂家提供的数据手册中，只有总的噪声电压密度曲线。例如：

可以看出，厂家仅给出了包含 1/f 噪声和平坦区噪声的噪声电压密度曲线，它们都有这样的特征：低频段以 1/f 噪声为主，且随着频率的上升而下降，渐渐的，1/f 噪声没有了， 呈现出平坦区噪声。

问题是，厂家的图中并没有区分 C 和 K 的概念，需要我们自己去确定。

3.1 K 的确定

K 指电压密度曲线中白噪声电压密度。两种方法可以获得 K。

1. 读图法。频率越高，1/f 噪声影响越小，电压密度中就仅包含白噪声的 K 了。因此方法很简单，找到图中最高频率点，直接读数值即可。ADA4000-1：16nV/√Hz 左 右，ADA4899-1：1nV/√Hz 左右，ADA4062-2：37nV/√Hz 左右。
2. 数据法。多数数据手册会在指标表里给出。如下：

这与我们肉眼读出的数据基本吻合。

3.2 C 的确定

C 指 1/f 噪声在 1Hz 处的噪声电压密度。多数情况下，需要从噪声电压密度曲线图中间接获得。

3.2.1 曲线涵盖 1Hz

如果电压密度曲线中 1Hz 处的值可以读到，那么它是 1/f 噪声和白噪声的合并，结合式（1）和（3），有：

$$D_U(1Hz)=\sqrt{{D_{U-1f}(1Hz)}^2+{D_{U-wh}(1Hz)}^2}=\sqrt{C^2+K^2}\text{\hspace{1em}(6)}$$

可解得：

$$C=\sqrt{{D_U(1Hz)}^2-K^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

前文图中 Figure47 为 ADA4062-2 密度图，读得 $D_U(1Hz)$ = 105nV/√Hz，且已知 K = 36nV/√Hz，则解得 C = 99nV/√Hz。Figure25 为 ADA4000-1 密度图，读得 $D_U(1Hz)$ = 51nV/√Hz，且已知 K = 16nV/√Hz，则解得 C = 48.4nV/√Hz。

3.2.2 曲线不涵盖 1Hz

某些数据手册，特别是高速运放，其电压密度曲线并未涵盖 1Hz，也就读不到 DU(1Hz)。比如 ADA4899-1，如 Figure13，仅能读到 $D_U(10Hz)$ = 10 nV/√Hz，可先找到图中最小频率 fmin，利用下式计算：

$$C=\sqrt{\frac{f_{min}}{1Hz}(D_U^2(f_{min})-K^2)}\text{\hspace{1em}(8)}$$

代入数值可解出，$C_{ADA4899-1}$ = 31.5 nV/√Hz。显然，式 8 相对于式 7 更为普适。

但是，对同一张图用上述两种方法解得的 C 并不完全一致， 甚至会出现较大的差异，比如 Figure25。其实这就是数据手册中不给出 C 和 K 的原因：上面讲的，都是简化的模型，实际的运放噪声密度曲线，不是简单用 1/f 噪声和白噪声合并就可以准确得到的，最终还得依赖于实测结果。幸运的是，多数情况下，1/f 噪声的影响力远小于白噪声，这点误差算不了什么。

3.2.3 从转角频率获得

有些数据手册会明确给出噪声转角频率，称之为 $f_{corner}$，定义为此频率处 1/f 噪声和白噪声的电压密度相等。即：

$$D_{U-1f}(f_{corner})=D_{U-wh}(f_{corner})=C\sqrt{\frac{1Hz}{f_{cornor}}}=K$$

可解得：

$$C=K\sqrt{\frac{f_{cornor}}{1Hz}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

四、噪声计算中频率的起点 $f_a$ 和终点 $f_b$

4.1 确定等效截止频率$f_b$

当我们获知了 1/f 噪声的关键参数 C，白噪声的关键参数 K，就可以利用式 2 和式 4 计算 1/f 噪声有效值、白噪声的有效值。

其中关键是两个频率点 $f_a$ 和 $f_b$ 的确定。对广谱白噪声来说，重要的是 $f_b$。理论上说，噪声的发作频率是没有上限的，也就是说 $f_b$ 可以是无穷大。但对于实际电路，任何一个噪声发作源，在输出时都会受到外部影响而变成“上有限”：

1、运放正输入端产生的等效输入噪声，在运放输出端会受到运放带宽限制， 而呈现出低通滤波效果。

2、电阻产生的噪声，会受到输出端与地之间的杂散电容影响，也构成了一个低通滤波器。

这就相当于给电压密度曲线串联了一个上限截止频率为 $f_h$ 的低通滤波器，或者说给它串联了一个上限截止频率为 $f_b$ 的理想低通滤波器——导致电压密度曲线在超过 $f_b$ 后立即变为 0，积分上限就不再是无穷大频率，而是 $f_b$ 了。

4.1.1 存在滤波器电路

若运放电路中存在RC滤波，如积分器电路，则不同阶数滤波器的截止频率 $f_h$ 与 噪声等效上限截止频率 $f_b$ 的换算关系为：

$$f_b=换算系数\times f_h\text{\hspace{1em}(10)}$$

换算系数计算较为复杂，下表为经验值：

4.1.2 没有滤波器电路

当不存在滤波电路，例如单纯的比例放大电路，则需要从运放的增益带宽积和噪声增益入手，计算其闭环带宽。例如以下电路：

上图中，运算放大器的增益带宽积为 350KHz，噪声增益为 21，所以其闭环带宽为：350KHz/21=16.67KHz，这个带宽是闭环增益下降 3dB 时的带宽，相当于在 16.67KHz 处的一个一阶低通滤波器，剩下的计算方法便与上节一致了，根据换算系数得出等效噪声带宽为：1.57*16.67KHz＝26.2KHz。

4.2 确定起始频率$f_a$

工程上认为，当噪声频率低于 0.1Hz，即 10s 以上发作一次的事件，一般可以被认为是人为的、环境因素带来的扰动，比如我们在电路旁边来回走动引起的气流变化，这可能与运放电路本身无关。因此，绝大多数情况下，计算 1/f 噪声，$f_a$ 选为 0.1Hz。

五、噪声的有效值和峰峰值关系

噪声是具备统计学规律的，那么它的有效值和峰峰值之间就存在某种规律。结论是：

$$U_{N-pp}=6.6U_{N-rms}\text{\hspace{1em}(11)}$$

噪声峰峰值为噪声有效值的 6.6 倍。或者定义信号的峰值与信号有效值的比值为峰值因数，那么白噪声的峰值因数为 3.3。这来源于白噪声在纵轴上的分布满足正态分布。（对 1/f 噪声，其峰值因数有不同的说法，一般可以认定也近似为 3.3）

噪声波形、有效值（近似为𝜎），以及峰峰值之间的关系如下图所示：

在正态分布中，±3𝜎 的区间可以包容 99.7%的出现概率，±3.3𝜎 的区间可以包容 99.9% 的出现概率，若取±3.3𝜎 的区间，则可以包容到 99.999% 的出现概率。这说明要看到超过 ±3.3𝜎 的事件，只有 0.1% 的概率。因此，一般认为，在肉眼能够看到的最大值和最小值，一般不会超过 ±3.3𝜎，也就是不会超过有效值的 ±3.3 倍。

其它概率情况如下：

六、运放的等效输入电流噪声

运放的输入端存在偏置电流，且这个偏置电流上还存在电流的随机性波动。这个波动就是等效输入电流噪声。

这个电流噪声只有经过外部电阻才能演变成电压噪声，否则它不会对电路输出噪声产生任何影响。

有的运放与电压噪声相似，生产厂家也会给出噪声电流密度曲线，通常它也是由 1/f 噪声电流和白噪声电流共同形成。因此，从图中或者指标表格中可以获得 C 和 K，然后按照类似的算法计算出电流噪声有效值。其中，$f_b$ 与 $f_a$ 与噪声电压计算中的选择一致。

从 ADI 公司 OP27 数据手册中可以得到如下与电流噪声密度相关的信息。

获取 K 的方法很简单，无论是表格中出现的最大频率点 1000Hz，还是图中找到最大频率点 3.1kHz，该点处的噪声电流密度即为白噪声的电流密度 K，因为该处的 1/f 电流密度太小了，可以忽略。得 K =0.4pA/√Hz。

1/f 噪声中 C 的获取方法与电压噪声密度 C 的确定相同：

$$C=\sqrt{\frac{f_{min}}{1Hz}(D_I^2(f_{min})-K^2)}\text{\hspace{1em}(12)}$$

利用转角频率计算 C 的方法也一致：

$$C=K\sqrt{\frac{f_{cornor}}{1Hz}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

获得 K 与 C 的值后，可以计算运放的电流 1/f 噪声和白噪声分别为：

$$I_{N-1f}=C\sqrt{1Hz}\sqrt{ln\frac{f_b}{f_a}}\text{\hspace{1em}(14)}$$

$$I_{N-wh}=K\sqrt{f_b-f_a}\text{\hspace{1em}(15)}$$

最后计算得运放正端或者负端的噪声电流有效值为 1/f 噪声和白噪声的总和：

$$I_N=\sqrt{I_{N-1f}^2+I_{N-wh}^2}\text{\hspace{1em}(16)}$$

在没有特殊标注的情况下，运放正输入端噪声电流与负输入端噪声电流有效值是一致的，都是 $I_N$。

但有些运放电流噪声曲线并不是像上图那样与电压噪声密度曲线类似，例如 OPA347：

OPA347 的电流噪声密度可分为明显的两部分：在 1KHz 以下，是均匀的白噪声； 在 1KHz 以上的部分有时被称作 $f^2$ 噪声，因为其噪声功率与 $f^2$ 成正比。 $f^2$ 噪声的成因实际上是由于运放输入端的差模和共模电容随着频率升高而阻抗降低，运放的电压噪 声在这些电容上形成的电流噪声。因此在很多情况下，$f^2$ 噪声都不被认为是电流噪声，当我们在运放电路的总体噪声计算中包括了运放的宽带电压白噪声的时候，就不必再考虑 $f^2$ 噪声，而是认为运放的电流噪声为恒定的白噪声，此时仅根据式 15 计算白噪声即可。

类似情况还有零漂移运放 OPA333：

这类零漂移运放消除了 1/f 噪声，在其噪声密度曲线中，仅有电压和电流白噪声，此时也只计算白噪声即可。

七、电阻热噪声

电阻热噪声源于受到温度影响产生的布朗运动发生的电子碰撞。它与温度、阻值有关。温度越高、阻值越大，会引起更大的热噪声。电阻热噪声电压密度为一个与频率无关的量，表达式为：

$$D_{U-R}=\sqrt{4kTR}\text{\hspace{1em}(17)}$$

其中，T为开尔文温度，单位为K，$k=1.38\times 10^{-23}J/K$，为玻尔兹曼常数。其中 $1J=1V^2/(\Omega \ast Hz)$。

常温 27°C时，T=300K，已知等效带宽为 $f_b$，一个电阻值为 R 的电阻在 27°C 产生的噪声电压有效值为：

$$U_{N-R}=\sqrt{4kTR{f}_b}=0.1287\sqrt{\frac{R}{1\Omega }}\sqrt{\frac{f_b}{1Hz}}nV\text{\hspace{1em}(18)}$$

有时以 25℃ 为常温，此时计算出式 18 中系数为 0.1283，相差非常之小。不同温度和阻值的电阻热噪声曲线图如下：

为了得到更好的性能，一般建议放大器产生的噪声要比电阻产生的噪声大。低噪声的放大器一般比较贵，所以不要买了一个高价格的放大器，而电阻噪声却在噪声性能当中占了主导地位。

高频放大器带宽较大，输出噪声相应也较大。其噪声电压密度一般为几个 nV/√Hz 甚至更小，此时如果外部接的电阻大于 1KΩ，一个电阻产生的噪声就与运放等同了。这也是常见高频运放电路外部电阻较小的其中一个原因。

八、运放电路噪声模型

按照上述方法，可获得噪声源的电压或者电流有效值，包括等效输入噪声电压，电阻噪声电压，以及电流噪声。现在需要研究的是，以下图为例，各独立噪声源独立作用时，在输出产生的噪声大小。

计算方法是，要计算哪个噪声源产生的输出噪声，则在图中保留该噪声源，让其他噪声源失效：电压源短路、电流源开路，然后按照电路基本原理计算输出。

可计算得以下表达式：

$$U_{UI}=(1+\frac{R_4}{R_3})U_{N-1}$$
$$U_{I1}=I_{N1}\times R_1//R_2\times (1+\frac{R_4}{R_3})$$
$$U_{I2}=-I_{N2}\times R_3//R_4\times \frac{R_4}{R_3}$$
$$U_{R1}=U_{N-R1}\times \frac{R_2}{R_1+R_2}\times (1+\frac{R_4}{R_3})$$
$$U_{R2}=U_{N-R2}\times \frac{R_1}{R_1+R_2}\times (1+\frac{R_4}{R_3})$$
$$U_{R3}=-U_{N-R3}\times \frac{R_4}{R_3}$$
$$U_{R4}=U_{N-R4}$$

最终的输出噪声电压为：

$$U_{Noise}=\sqrt{U_{UI}^2+U_{I1}^2+U_{I2}^2+U_{R1}^2+U_{R2}^2+U_{R3}^2+U_{R4}^2}$$

九、多级放大电路的噪声计算

首先将多级放大电路拆分成若干个串联的单元，对其中的每个单元，依据前述方法得到以下三个值，如图左下处浅蓝色虚框内。

1、本级通带内电压增益 $A_i$；

2、本级等效带宽 $f_{bi}$；

3、本级电路等效输入噪声 $U_{Nii}$。

计算本级等效输入噪声时，需要从每一个噪声源算起，每个噪声源都有一个等效带宽。注意，它不是本级等效带宽，而是该噪声源后续经过的所有环节中，等效带宽最小的。

比如，上述放大电路中 A4 是一个一阶无源 RC 低通滤波器，其截止频率 $f_{h4}$ 远低于前面 3 级中的任何一个等效带宽，那么第一，可以确定本级等效带宽为 $f_{b4}=1.57f_{h4}$；第二，在 A4 前 面的所有噪声源计算时，均应使用 $f_{b4}$ 作为等效带宽。

完成了上述每一级独立的三个参数求解，即可按照下述规律性步骤求解总噪声输出：

1、确定前级输出噪声，对第一级为 0；

2、本级实际输入为 ${\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}=\sqrt{\mathbf{前级输出噪}{\mathbf{声}}^2+\mathbf{本级等效输入噪}{\mathbf{声}}^2}$

3、本级输出噪声为实际输入噪声 $U_i$ 的 $A_i$倍。

4、从第一级开始，直至最后一级的输出即为总噪声输出。

十、噪声计算总结

1、确定噪声计算的等效带宽 $f_b$

根据 4.1 节内容，确定噪声计算得等效带宽。

2、计算运放的电压等效输入噪声有效值 $U_{N-I}$

1）查找运放数据手册，获得噪声电压密度曲线；

2）从噪声电压密度曲线中获得白噪声电压密度 $K$；

3）从曲线中利用式 8 获得 $1/f$ 噪声 1Hz 处噪声电压密度 $C$；

$$C=\sqrt{\frac{f_{min}}{1Hz}(D_U^2(f_{min})-K^2)}\text{\hspace{1em}(8)}$$

4）根据 $C$，$f_b$，取 $f_a=0.1Hz$，利用式 2 求解 $1/f$ 噪声电压 $U_{N-1f}$；

$$U_{N-1f}=C\sqrt{1Hz}\sqrt{ln\frac{f_b}{f_a}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

5）根据 $K$，$f_b$，利用式 4 求解白噪声电压 $U_{N-wh}$；

$$U_{N-wh}=K\sqrt{f_b-f_a}\text{\hspace{1em}(4)}$$

6）根据式 5 得到 总电压噪声有效值 $U_{N-I}$。

$$U_{N-I}=\sqrt{{U_{N-1f}}^2+{U_{N-wh}}^2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

3、计算运放的输入噪声电流有效值 $I_N$

1）查找数据手册，获得噪声电流密度曲线；

2）从噪声电流密度曲线中获得白噪声电流密度 $K$；

3）从曲线中利用式 12 获得 $1/f$ 噪声 1Hz 处噪声电流密度 $C$；

$$C=\sqrt{\frac{f_{min}}{1Hz}(D_I^2(f_{min})-K^2)}\text{\hspace{1em}(12)}$$

4）根据 $C$，$f_b$，取 $f_a=0.1Hz$，利用式 14 求解电流 $1/f$ 噪声 $I_{N-1f}$；

$$I_{N-1f}=C\sqrt{1Hz}\sqrt{ln\frac{f_b}{f_a}}\text{\hspace{1em}(14)}$$

5）根据 $K$，$f_b$，利用式 15 求解电流白噪声 $U_{N-wh}$；

$$I_{N-wh}=K\sqrt{f_b-f_a}\text{\hspace{1em}(15)}$$

6）根据式 16 得到总电流噪声有效值 $I_N$。

$$I_N=\sqrt{I_{N-1f}^2+I_{N-wh}^2}\text{\hspace{1em}(16)}$$

4、计算外部各电阻的热噪声有效值 $U_{N-R}$

直接利用式 18 求解一个确定电阻的噪声电压，注意环境温度的大小。

$$U_{N-R}=\sqrt{4kTR{f}_b}nV\text{\hspace{1em}(18)}$$

其中，$T$ 为开尔文温度，单位为 $K$，$k=1.38\times 10^{-23}J/K$，为玻尔兹曼常数。其中 $1J=1V^2/(\Omega \ast Hz)$。

5、以第八节模型为例，对全部噪声源实施独立运算，得到各独立噪声源产生的输出噪声。然后对它们实施平方和开根号。

6、按照多级计算方法，得到最终的输出噪声。