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图像降噪算法——维纳滤波

图像降噪算法——维纳滤波

维纳滤波是在频域中处理图像的一种算法,是一种非常经典的图像增强算法,不仅可以进行图像降噪,还可以消除由于运动等原因带来的图像模糊。

1. 基本原理

在图像拍摄过程中由于各种原因会造成图像退化,图像退化模型如下: g ( x , y ) = h ( x , y ) ⋆ f ( x , y ) + η ( x , y ) g(x, y)=h(x, y) \star f(x, y)+\eta(x, y) g(x,y)=h(x,y)f(x,y)+η(x,y)其中, ⋆ \star 为卷积符号, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为输入图像, g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)为退化图像, h ( x , y ) h(x,y) h(x,y)为退化函数, η ( x , y ) \eta(x,y) η(x,y)为加性噪声,将上式进行傅里叶变换有: G ( u , v ) = H ( u , v ) F ( u , v ) + N ( u , v ) G(u, v)=H(u, v) F(u, v)+N(u, v) G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)根据傅里叶变换的特性,空间域中的卷积相当于频率域中的乘积

(1) 如果不考虑退化函数,图像退化模型就简化为图像噪声模型: g ( x , y ) = f ( x , y ) + η ( x , y ) g(x, y)=f(x, y)+\eta(x, y) g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)图像增强问题成为单纯的图像去噪问题,可以通过空间域滤波等众多方法解决。

(2) 如果不考虑加性噪声,图像退化模型就简化为: g ( x , y ) = h ( x , y ) ⋆ f ( x , y ) g(x, y)=h(x, y) \star f(x, y) g(x,y)=h(x,y)f(x,y)这种问题可以通过逆滤波解决,即通过傅里叶变化以及阵列除法即可获得恢复后的图像频谱 F ^ ( u , v ) \hat{F}(u, v) F^(u,v) F ^ ( u , v ) = G ( u , v ) H ( u , v ) \hat{F}(u, v)=\frac{G(u, v)}{H(u, v)} F^(u,v)=H(u,v)G(u,v)那么 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)怎么获得呢?《数字图像处理》中的方法有观察估计、实验估计和建模估计,例如建模估计中可以通过运动数学模型将退化函数构造为: H ( u , v ) = T π ( u a + v b ) sin ⁡ [ π ( u a + v b ) ] e − j π ( u a + v b ) H(u, v)=\frac{T}{\pi(u a+v b)} \sin [\pi(u a+v b)] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi(u a+v b)} H(u,v)=π(ua+vb)Tsin[π(ua+vb)]ejπ(ua+vb)

(3) 如果退化函数和加性噪声都考虑,空域滤波器无法解决图像退化问题,逆滤波效果因为噪声的存在会变得非常差,这个时候就需要用到维纳滤波,(维纳滤波的推导写在结论中)维纳滤波公式如下: F ^ ( u , v ) = [ 1 H ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + S η ( u , v ) / S f ( u , v ) ] G ( u , v ) \hat{F}(u, v)=\left[\frac{1}{H(u, v)} \frac{|H(u, v)|^{2}}{|H(u, v)|^{2}+S_{\eta}(u, v) / S_{f}(u, v)}\right] G(u, v) F^(u,v)=[H(u,v)1H(u,v)2+Sη(u,v)/Sf(u,v)H(u,v)2]G(u,v)其中,
S η ( u , v ) = ∣ N ( u , v ) ∣ 2 S_{\eta}(u, v)=|N(u, v)|^{2} Sη(u,v)=N(u,v)2为噪声的功率谱,这个我们可以通过用户输入的方差构造一个噪声图像 N ( u , v ) N(u, v) N(u,v)并计算功率谱;
S f ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 S_{f}(u, v)=|F(u, v)|^{2} Sf(u,v)=F(u,v)2为输入图像的功率谱,这里乍一看会觉得有点问题,我们如果知道输入图像还需要滤波干嘛?我们当然不知道输入图像,因为真实图像的功率谱都是类似的,因此我们使用一个参考图像计算功率谱即可,在下面的例子中就是使用的lena的灰度图作为参考图像;
下面的例子中我们还对退化函数进行了简化,将退化函数置为1,因此维纳滤波公式简化为: F ^ ( u , v ) = [ S f ( u , v ) S f ( u , v ) + S η ( u , v ) ] G ( u , v ) \hat{F}(u, v)=\left[\frac{S_{f}(u, v)}{S_{f}(u, v)+S_{\eta}(u, v)}\right] G(u, v) F^(u,v)=[Sf(u,v)+Sη(u,v)Sf(u,v)]G(u,v)

2. C++代码实现

下面基于OpenCV实现维纳滤波

Mat Denoise::WienerFilter(const Mat &src, const Mat &ref, int stddev)
{
    //这些图片是过程中会用到的,pad是原图像0填充后的图像,cpx是双通道频域图,mag是频域幅值图,dst是滤波后的图像
    Mat pad, cpx, dst;

    //获取傅里叶变化最佳图片尺寸,为2的指数
    int m = getOptimalDFTSize(src.rows);
    int n = getOptimalDFTSize(src.cols);

    //对原始图片用0进行填充获得最佳尺寸图片
    copyMakeBorder(src, pad, 0, m-src.rows, 0, n-src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));

    //获得参考图片频谱
    Mat tmpR(pad.rows, pad.cols, CV_8U);
    resize(ref, tmpR, tmpR.size());
    Mat refSpectrum = GetSpectrum(tmpR);

    //获得噪声频谱
    Mat tmpN(pad.rows, pad.cols, CV_32F);
    randn(tmpN, Scalar::all(0), Scalar::all(stddev));
    Mat noiseSpectrum = GetSpectrum(tmpN);

    //对src进行傅里叶变换
    Mat planes[] = {Mat_<float>(pad), Mat::zeros(pad.size(), CV_32F)};
    merge(planes, 2, cpx);
    dft(cpx, cpx);
    split(cpx, planes);

    //维纳滤波因子
    Mat factor = refSpectrum / (refSpectrum + noiseSpectrum);
    multiply(planes[0], factor, planes[0]);
    multiply(planes[1], factor, planes[1]);

    //重新合并实部planes[0]和虚部planes[1]
    merge(planes, 2, cpx);

    //进行反傅里叶变换
    idft(cpx, dst, DFT_SCALE | DFT_REAL_OUTPUT);

    dst.convertTo(dst, CV_8UC1);
    return dst;
}


Mat Denoise::GetSpectrum(const Mat &src)
{
    Mat dst, cpx;
    Mat planes[] = {Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(), CV_32F)};
    merge(planes, 2, cpx);
    dft(cpx, cpx);
    split(cpx, planes);
    magnitude(planes[0], planes[1], dst);
    //频谱就是频域幅度图的平方
    multiply(dst, dst, dst);
    return dst;
}

下面是运行结果:
首先是原图:
在这里插入图片描述
添加上高斯噪声后:
在这里插入图片描述
维纳滤波的效果:
在这里插入图片描述
这个效果看上去有点神奇…

3. 结论

  1. 从滤波结果看,和频域的高斯低通滤波是不同的,从频域图上看其实就是筛掉了不同的高频信号

  2. 咱学知识就要学明白,这里我们把维纳滤波的推导再过一遍:
    维纳滤波是采用优化的方法推导的的,优化的目标是是的估计图像 F ^ ( u , v ) \hat{F}(u,v) F^(u,v)和参考图像 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)(或者说是输入图像)频谱的均方差最小,即: e = E { ∣ F ( u , v ) − F ^ ( u , v ) ∣ 2 } e=E\{|F(u,v)-\hat{F}(u,v)|^{2}\} e=E{F(u,v)F^(u,v)2}将估计图像频谱进行替换: e = E { ∣ F ( u , v ) − X ( u , v ) G ( u , v ) ∣ 2 } = E { ∣ F ( u , v ) − X ( u , v ) [ H ( u , v ) F ( u , v ) + N ( u , v ) ] ∣ 2 } = E { ∣ [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] F ( u , v ) − X ( u , v ) N ( u , v ) ∣ 2 } \begin{aligned} e &=E\{|F(u,v)-X(u,v) G(u,v)|^{2}\} \\ &=E\{|F(u,v)-X(u,v) [H(u, v) F(u, v)+N(u, v)]|^{2}\} \\ &=E\{|[1-X(u,v)H(u, v) ] F(u, v)-X(u,v)N(u, v)|^{2}\} \end{aligned} e=E{F(u,v)X(u,v)G(u,v)2}=E{F(u,v)X(u,v)[H(u,v)F(u,v)+N(u,v)]2}=E{[1X(u,v)H(u,v)]F(u,v)X(u,v)N(u,v)2}其中, X ( u , v ) X(u,v) X(u,v)就是我们需要估计的维纳滤波系数,然后对平方进行展开 e = [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] ∗ × E { ∣ F ( u , v ) ∣ 2 } − [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] X ∗ ( u , v ) × E { F ( u , v ) N ∗ ( u , v ) } − X ( u , v ) [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] ∗ × E { F ( u , v ) ∗ N ( u , v ) } + X ( u , v ) X ∗ ( u , v ) × E { ∣ N ( u , v ) ∣ 2 } \begin{aligned} e &=[1-X(u,v)H(u, v) ][1-X(u,v)H(u, v) ]^*×E\{|F(u,v)|^{2}\} \\ &-[1-X(u,v)H(u, v) ]X^*(u,v)× E\left\{F(u,v)N^*(u, v)\right\} \\ &-X(u,v)[1-X(u,v)H(u, v)]^*×E\left\{F(u,v)^*N(u, v)\right\} \\ &+X(u,v)X^*(u,v)×E\{|N(u, v)|^{2}\} \end{aligned} e=[1X(u,v)H(u,v)][1X(u,v)H(u,v)]×E{F(u,v)2}[1X(u,v)H(u,v)]X(u,v)×E{F(u,v)N(u,v)}X(u,v)[1X(u,v)H(u,v)]×E{F(u,v)N(u,v)}+X(u,v)X(u,v)×E{N(u,v)2}其中,由于噪声和信号是独立无关的,因此 E { F ( u , v ) N ( u , v ) } = E { F ( u , v ) N ( u , v ) } = 0 E\left\{F(u,v)N(u, v)\right\}=E\left\{F(u,v) N(u, v)\right\}=0 E{F(u,v)N(u,v)}=E{F(u,v)N(u,v)}=0定义如下功率谱有: S f ( u , v ) = E { ∣ F ( u , v ) ∣ 2 } S η ( u , v ) = E { ∣ N ( u , v ) ∣ 2 } \begin{array}{l} S_f(u,v)=E\{|F(u,v)|^{2}\} \\ S_\eta(u,v)=E\{|N(u, v)|^{2}\} \end{array} Sf(u,v)=E{F(u,v)2}Sη(u,v)=E{N(u,v)2}于是有: e = [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ] ∗ S f ( u , v ) + X ( u , v ) X ∗ ( u , v ) ( f ) S η ( u , v ) e=[1-X(u,v)H(u, v) ][1-X(u,v)H(u, v) ]^*S_f(u,v)+X(u,v)X^*(u,v)(f) S_\eta(u,v) e=[1X(u,v)H(u,v)][1X(u,v)H(u,v)]Sf(u,v)+X(u,v)X(u,v)(f)Sη(u,v)然后对 X ( u , v ) X(u,v) X(u,v)求导 d ( e ) d X ( u , v ) = X ∗ ( u , v ) S η ( u , v ) − X ( u , v ) [ 1 − X ( u , v ) H ( u , v ) ) ] ∗ S f ( u , v ) = 0 \frac{\mathrm{d}(e)}{\mathrm{d} X(u,v)}=X^{*}(u,v)S_\eta(u,v)-X(u,v)[1-X(u,v)H(u, v))]^{*}S_f(u,v)=0 dX(u,v)d(e)=X(u,v)Sη(u,v)X(u,v)[1X(u,v)H(u,v))]Sf(u,v)=0求解可获得维纳滤波公式。

有问题欢迎交流~

此外,这里我写一个各种算法的总结目录图像降噪算法——图像降噪算法总结,对图像降噪算法感兴趣的同学欢迎参考

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