Bootstrap

萬有的函數關係速成1. 函數的定義域

1.求複合函數的定義域
**定义**:

若函数y = f(u)的定义域为D_f,函数u = g(x)的定义域为D_g,值域为R_g,且R_g\subseteq D_f,那么复合函数y = f(g(x))的定义域是\{x|x\in D_gg(x)\in D_f\}

**例题 1**:

已知f(x)的定义域为[0, 2],求f(2x - 1)的定义域。

**解**:令0\leq 2x - 1\leq 2,解不等式2x - 1\geq 0x\geq \frac{1}{2};解不等式2x - 1\leq 22x\leq 3,即x\leq \frac{3}{2}。所以f(2x - 1)的定义域为[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]

**例题 2**:

已知f(x^2)的定义域为[ - 1, 2],求f(x)的定义域。

**解**:因为x\in[-1, 2],则x^2\in[0, 4],所以f(x)的定义域为[0, 4]

**例题 3**:

f(x)的定义域是( - 1, 1),求f(\log_2x)的定义域。

**解**:令-1 < \log_2x < 1,解不等式\log_2x > - 1,即\log_2x > \log_2\frac{1}{2},得x > \frac{1}{2}

解不等式\log_2x < 1,即\log_2x < \log_22,得x < 2。所以f(\log_2x)的定义域为(\frac{1}{2}, 2)

2.函數形態(原函數和導函數的連續和有界的關係)
 **关系**:

1. 若f(x)在区间I上可导且导函数f^\prime(x)I上有界,则f(x)在I上一致连续(当然也连续)。但原函数连续不能推出导函数有界,导函数有界也不能推出原函数有界。

2.若f(x)在区间I上有原函数F(x),即F^\prime(x)=f(x)F(x)I上连续,但f(x)不一定连续。

**例题 1**:

f(x)=x^2[ - 1, 1]上,求导得f^\prime(x)=2xf^\prime(x)[ - 1, 1]上有界,\vert f^\prime(x)\vert\leq 2f(x)[ - 1, 1]上连续且有界。说明导函数有界可推出原函数连续。

**例题 2**:

f(x)=\sqrt{x}(0, 1]上连续,f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(0, 1]上无界。说明原函数连续不能推出导函数有界。

**例题 3**:

f(x)=\sin x^2,其原函数F(x)=\int\sin x^2dx(不能用初等函数表示),f(x)连续,但F(x)有界性不易直接从f(x)得出,说明原函数的有界性与导函数有界性无必然联系。

3.極限的概念
**定义(以\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A为例)**:

设函数f(x)在点\(a\)的某去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数\epsilon(无论它多么小),总存在正数\delta,使得当x满足不等式0 < \vert x - a\vert < \delta时,对应的函数值f(x)都满足不等式\vert f(x)-A\vert < \epsilon,那么常数A就叫做函数f(x)x\rightarrow a时的极限,记作\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A

**例题 1**:

用定义证明\lim_{x\rightarrow 2}(3x - 1)=5

**证明**:\forall\epsilon > 0,要使\vert(3x - 1)-5\vert=\vert3x - 6\vert = 3\vert x - 2\vert<\epsilon,只要\vert x - 2\vert<\frac{\epsilon}{3}。取\delta=\frac{\epsilon}{3},则当0 < \vert x - 2\vert < \delta时,就有\vert(3x - 1)-5\vert<\epsilon,所以\lim_{x\rightarrow 2}(3x - 1)=5

**例题 2**:

用定义证明\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}=2

**证明**:\forall\epsilon > 0\vert\frac{x^2 - 1}{x - 1}-2\vert=\vert x + 1 - 2\vert=\vert x - 1\vert。取\delta=\epsilon,当0 < \vert x - 1\vert < \delta时,\vert\frac{x^2 - 1}{x - 1}-2\vert<\epsilon,所以\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}=2

**例题 3**:

用定义证明\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0

**证明**:

;