1.求複合函數的定義域
**定义**:
若函数的定义域为,函数的定义域为,值域为,且,那么复合函数的定义域是且。
**例题 1**:
已知的定义域为,求的定义域。
**解**:令,解不等式得;解不等式得,即。所以的定义域为。
**例题 2**:
已知的定义域为,求的定义域。
**解**:因为,则,所以的定义域为。
**例题 3**:
若的定义域是,求的定义域。
**解**:令,解不等式,即,得;
解不等式,即,得。所以的定义域为。
2.函數形態(原函數和導函數的連續和有界的關係)
**关系**:
1. 若在区间上可导且导函数在上有界,则在I上一致连续(当然也连续)。但原函数连续不能推出导函数有界,导函数有界也不能推出原函数有界。
2.若在区间I上有原函数,即,在上连续,但不一定连续。
**例题 1**:
在上,求导得,在上有界,,在上连续且有界。说明导函数有界可推出原函数连续。
**例题 2**:
在上连续,在上无界。说明原函数连续不能推出导函数有界。
**例题 3**:
,其原函数(不能用初等函数表示),连续,但有界性不易直接从得出,说明原函数的有界性与导函数有界性无必然联系。
3.極限的概念
**定义(以为例)**:
设函数在点\(a\)的某去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数(无论它多么小),总存在正数,使得当满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫做函数当时的极限,记作。
**例题 1**:
用定义证明。
**证明**:,要使,只要。取,则当时,就有,所以。
**例题 2**:
用定义证明。
**证明**:,。取,当时,,所以。
**例题 3**:
用定义证明。
**证明**: