代码随想录算法训练营第三十七天|1049. 最后一块石头的重量 II，494. 目标和，474.一和零

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1049. 最后一块石头的重量 II
494. 目标和
474.一和零

1049. 最后一块石头的重量 II

题目链接： 1049. 最后一块石头的重量 II
题目内容： 有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。
视频讲解： 动态规划之背包问题，这个背包最多能装多少？LeetCode：1049.最后一块石头的重量 II

思路：尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

动态规划问题的五步曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：
01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，因此dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]
确定递推公式：
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
dp数组如何初始化：dp数组初始化为0
确定遍历顺序：物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
举例推导dp数组

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        #初始化
        dp=[0]*15001
        total_sum=sum(stones)
        target=total_sum // 2
        for stone in stones: #遍历物品
            for j in range(target,stone-1,-1): #遍历背包
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-stone]+stone)
        return total_sum-dp[target]-dp[target]

494. 目标和

题目链接： 494. 目标和
题目内容： 给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式：例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。
视频讲解： 动态规划之背包问题，装满背包有多少种方法？| LeetCode：494.目标和

思路： 转化为01背包问题：假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。所以我们要求的是 x - (sum - x) = target，x = (target + sum) / 2。此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

动态规划问题的五步曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
确定递推公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]
dp数组如何初始化：从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
确定遍历顺序：nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序
举例推导dp数组

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total_sum=sum(nums)
        if abs(target)>total_sum:
            return 0
        if (target+total_sum)%2==1:
            return 0
        target_sum=(target+total_sum)//2
        dp=[0]*(target_sum+1)
        dp[0]=1
        for num in nums:
            for j in range(target_sum,num-1,-1):
                dp[j]+=dp[j-num]
        return dp[target_sum]

474.一和零

题目链接： 474.一和零
题目内容： 给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1 。如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的子集。
视频讲解： 动态规划之背包问题，装满这个背包最多用多少个物品？| LeetCode：474.一和零

思路： 转化为01背包问题：本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个；而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

动态规划问题的五步曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]
确定递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)
dp数组如何初始化：初始化为0就可以。因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖
确定遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包，倒序遍历，背包有两个维度，这两个维度的遍历顺序先遍历哪一个都可以
举例推导dp数组

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        dp=[[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for s in strs: #遍历物品
            zeroNum=s.count('0')
            oneNum=len(s)-zeroNum
            for i in range(m,zeroNum-1,-1): #遍历背包
                for j in range(n,oneNum-1,-1):
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1)
        return dp[m][n]

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