理想化相机模型的相机内参计算

在理想化的相机模型中，假设没有畸变，计算相机内参可以根据图像的分辨率和相机的视角（视场角，FOV）来进行。相机内参通常由焦距（fx, fy）和主点（cx, cy）组成，这些参数可以通过以下方式计算：

1. 相机内参定义

• fx, fy: 焦距，单位通常是像素。表示相机在x和y方向上的焦距。
• cx, cy: 主点，通常是图像中心点的坐标。

2. 根据视角和图像分辨率计算相机内参

假设你有一个理想化的相机模型，已知图像的宽度（W）、高度（H）和水平视场角（Horizontal FOV, ${\theta }_h$），你可以计算相机内参如下：

2.1 计算焦距 fx 和 fy

水平视场角 ${\theta }_h$ 通常是已知的。可以通过以下公式计算焦距 fx：

$$fx=\frac{W}{2\cdot \tan (\frac{{\theta }_h}{2})}$$

对于垂直视场角 ${\theta }_v$，如果已知，也可以计算 fy。否则，可以假设像素是方形的，即 fx = fy：

$$fy=\frac{H}{2\cdot \tan (\frac{{\theta }_v}{2})}$$

如果没有垂直视场角 ${\theta }_v$ 的信息，可以假设 ${\theta }_v$ = ${\theta }_h$，使用相同的公式计算 fy。

2.2 计算主点 cx 和 cy

主点通常被设置为图像的中心：

$$cx=\frac{W}{2}$$

$$cy=\frac{H}{2}$$

3. 示例计算

假设图像的宽度 W = 640 像素，高度 H = 480 像素，水平视场角 θ_h = 60°：

3.1 计算 fx

$$fx=\frac{640}{2\cdot \tan (\frac{60°}{2})}$$

使用弧度计算：

$$\tan (\frac{60°}{2})=\tan (30°)\approx 0.577$$

$$fx\approx \frac{640}{2\cdot 0.577}\approx 554.26$$

3.2 假设 fy = fx（因为没有垂直视场角的信息）

$$fy\approx 554.26$$

3.3 计算主点

$$cx=\frac{640}{2}=320$$

$$cy=\frac{480}{2}=240$$

4. 相机内参矩阵

最终的相机内参矩阵 K 将如下：

$$K=\left[\begin{array}{ccc}fx& 0& cx\\ 0& fy& cy\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

代入示例值：

$$K=\left[\begin{array}{ccc}554.26& 0& 320\\ 0& 554.26& 240\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$