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一、数据的集中趋势描述

   数据描述的第一个维度是数据的集中趋势描述。数据的集中趋势描述是寻找反应事物特征的数据集合的代表值或中心值，这个代表值或中心值可以很好反映事物目前所处的位置和发展水平，通过对事物集中趋势指标的多次测量和比较，还能够说明事物的发展和变化趋势。数据的集中趋势描述的形式主要有如下几种：平均值、众数、中位数。

1.算数平均值

   算术平均值是最常用的数据集中趋势指标，可以分为简单算术平均值和加权算术平均值。算术平均值主要用于定距数据，表示数据集合的集中趋势。也能用于定类数据和定序数据，决定算术平均值是否使用的前提条件是，求得的算术平均值是否具有现实意义

1.1 简单算术平均值

   简单算术平均值是最典型，最常用，最具有代表性的集中趋势指标。将数据集合的所有数据值相加的和除以数值个数就得到简单算术平均值。

简单算术平均数适用于未分组的原始数据。
加权平均数用于分组的数据。

1.2 加权算术平均值

   因为简单算术平均值认为所有的数据都具有同等的重要性，所以每个数据值都具有相同的权重。但有些时候，每个数据值的权重是不一样的，需要用加权算术平均值来表示数据集合的集中趋势。

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数学概念：

（1）若n个数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的权分别是 $w_1,w-2\cdots ,w_n$ ，那么 $$\bar{x}=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+\cdots +x_n{w}_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}$$ 叫做这n个数的加权平均值。

（2）此外，加权平均值也可用下式表示，其中 $f_1,f_2,\cdots ,f_k$ 表示权数。理解方法：将原式看作 $\bar{x}=\frac{x_1{f}_1}{n}+\frac{x_2{f}_2}{n}+\cdots +\frac{x_k{f}_k}{n}$ 即可。
即$$\bar{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+\cdots +x_k{f}_k}{n}$$

1.3 使用算术平均值的注意事项

   算术平均值虽然是应用最广泛的集中趋势指标，受样本数据波动的影响最小，具有一定的稳定性，但是也有明显的缺陷。当数据集合中有极大值或极小值存在时，会对算术平均值产生很大的影响，其计算结果会掩盖数据集合的真实特征，这时算术平均值就失去了代表性。

2. 调和平均数

   调和平均数(harmonic mean)又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。

2.1、简单调和平均值算法

    简单调和平均数是算术平均数的变形，它的计算公式如下：
​$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

2.2、加权调和平均数

    加权调和平均数是加权算术平均数的变形。它与加权算术平均数在实质上是相同的，而仅有形式上的区别，即表现为变量对称的区别、权数对称的区别和计算位置对称的区别。因而其计算公式为：
​ H = 1 1 m 1 + m 2 + ⋯ + m n ( 1 x 1 m