• 逆快速傅立叶变换（Inverse Fast Fourier Transform, IFFT）是一种用于恢复信号或数据到其原始形式的技术，它是快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的逆运算。
• FFT 是一种高效的离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）算法，用于将时域信号转换到频域表示，而 IFFT 则是将频域表示的数据转换回时域信号。

好的，让我们通过一个具体的例子来说明快速傅立叶变换 (FFT) 和逆快速傅立叶变换 (IFFT) 的工作原理。我们将使用一个简单的三维张量 $A$ 来演示这个过程。

张量 A

假设我们有一个 $3\times 3\times 4$ 的三维张量 $A$，每个元素都用 $a_{ijk}$ 表示，其中 $i$ 和 $j$ 分别是第一个和第二个维度的索引，$k$ 是第三个维度的索引。我们可以写出张量 $A$ 的形式如下：

$$A=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{111}& a_{112}& a_{113}\\ a_{121}& a_{122}& a_{123}\\ a_{131}& a_{132}& a_{133}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}{a}_{112}& a_{112}& a_{113}\\ a_{122}& a_{122}& a_{123}\\ a_{132}& a_{132}& a_{133}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}{a}_{113}& a_{112}& a_{113}\\ a_{123}& a_{122}& a_{123}\\ a_{133}& a_{132}& a_{133}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}{a}_{114}& a_{112}& a_{113}\\ a_{124}& a_{122}& a_{123}\\ a_{134}& a_{132}& a_{133}\end{array}\right]\end{array}\right]$$

步骤 1: 快速傅立叶变换 (FFT)

对每个前向切片应用 FFT

对于张量 $A$ 的每一个前向切片 $A(k)$（$k=1,2,3,4$），我们将应用快速傅立叶变换 (FFT) 沿着第三个维度。这将把每个 $3\times 3$ 的前向切片转换到频域。

假设我们用 $\hat{A}(k)$ 来表示经过 FFT 处理后的前向切片。对于每个前向切片 $A(k)$，我们可以写出 FFT 的形式为：
$$\hat{A}(k)=\text{FFT}(A(k),[],3)$$

这里的 [] 表示默认沿所有维度进行 FFT，而 3 明确指定了沿着第三个维度进行 FFT。

示例 FFT

为了简化，我们假设 $A(k)$ 中的元素都是实数。对于 $k=1$ 的情况，假设 $A(1)$ 的 FFT 结果为：
$$\hat{A}(1)=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{111}& {\hat{a}}_{112}& {\hat{a}}_{113}\\ {\hat{a}}_{121}& {\hat{a}}_{122}& {\hat{a}}_{123}\\ {\hat{a}}_{131}& {\hat{a}}_{132}& {\hat{a}}_{133}\end{array}\right]$$

类似地，我们可以得到其他前向切片的 FFT 结果。这样我们就得到了频域中的张量 $\hat{A}$。

步骤 2: 逆快速傅立叶变换 (IFFT)

对每个前向切片应用 IFFT

一旦我们完成了对每个前向切片的 FFT 处理，我们想要将这些前向切片转换回时域，也就是原始的空间表示。这一步通过应用逆快速傅立叶变换 (IFFT) 来实现。

假设我们已经完成了对张量 $A$ 的前向切片的处理，并得到了处理后的前向切片 $\hat{A}(k)$。现在我们要将这些前向切片重新组合成张量 $\hat{A}$。

$$\hat{A}=\text{IFFT}(\hat{A},[],3)$$

这里的 $\hat{A}$ 是一个 $3\times 3\times 4$ 的张量，其每个前向切片都已经过处理，并且已经被转换回时域。

示例 IFFT

假设我们已经完成了对张量 $A$ 的前向切片的处理，并得到了处理后的前向切片 $\hat{A}(k)$。现在我们要将这些前向切片重新组合成张量 $\hat{A}$。

对于 $k=1$ 的情况，假设 $\hat{A}(1)$ 的 IFFT 结果为：
$$\tilde{A}(1)=\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{a}}_{111}& {\tilde{a}}_{112}& {\tilde{a}}_{113}\\ {\tilde{a}}_{121}& {\tilde{a}}_{122}& {\tilde{a}}_{123}\\ {\tilde{a}}_{131}& {\tilde{a}}_{132}& {\tilde{a}}_{133}\end{array}\right]$$

通过这种方式，IFFT 在张量处理中被用来将经过处理的前向切片从频域转换回时域，从而恢复出处理后的张量。这种方法特别适用于多视图子空间聚类，因为它可以帮助我们更好地处理噪声和光照变化，同时保持数据的高阶相关性。

总结

在上述例子中，我们首先通过 FFT 将张量 $A$ 的前向切片转换到了频域，然后对频域中的前向切片进行了处理（例如，软阈值操作），最后通过 IFFT 将这些处理后的前向切片转换回了时域。

这样我们就得到了一个处理后的张量 $\hat{A}$，它保留了原始张量 $A$ 的形状，但是其内部的数值已经被修改，以反映我们在频域中所做的操作。