【数论】1 矩阵快速幂（斐波那契）

Tips：本篇blog适合刚开始学习数论部分的同学

本题解仅代表个人思路，如有异议欢迎批评指正，谢谢

一. 概述

该章节讲述的是矩阵运算及快速幂的概念，学过的同学可以跳过本章，直接看矩阵快速幂

1.矩阵

矩阵类似于向量，我们可以这么来表示一个矩阵

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

如上图，表示了一个 3*3 的矩阵。

矩阵也有加减和乘法运算（请注意矩阵没有除法运算），并且这些运算都是矩阵之间的，即可以矩阵加矩阵但不能矩阵加数字

2.矩阵加减

矩阵的加减运算时，只有两个同型矩阵（即行列数相同）才能进行加减运算，两个矩阵相同位置上的数做加减运算，最终会得到一个矩阵，就是运算结果，例如

$\begin{pmatrix} 4 & 6 & 3\\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1\\ 5 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 12 & 4\\ 7 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

可以看出，矩阵的加减法是具有交换律和结合律的。

3.矩阵乘法

矩阵乘法与加减法略有不同，矩阵进行乘法运算时，不一定两个矩阵是同型的（即不一定行列数相同），矩阵乘法的计算方法为

设 A * B = C （A，B，C均为矩阵），那么有

$C(i,j) = \sum A(i,k)*B(k,j)$

我们举个形象的例子

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*3+3*4 & 1*1+3*2\\ 2*3+2*4 & 2*1+2*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 7\\ 14 & 7 \end{pmatrix}$

到这里应该很清楚了，所以可以看出，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律

4.快速幂

快速幂可以加速幂运算，试想一下，如果我们直接枚举来进行幂运算，时间复杂度是 O(n) 。

我们可以用快速幂来优化这一过程，我们用类似二进制分解的原理，利用位运算来加速，最终的时间复杂度可以达到 O(log n) 。

具体的代码实现是这样滴

long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long ans = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) ans = (ans * x) % mod;//mod是模数
		x = (x * x) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}

二. 矩阵快速幂

1.引入

很多递推的题目，需要我们来递推求解状态，这时候的复杂度一般是 O(n) 的，但当达到 $10^{18}$ 的量级时，就可以采用矩阵快速幂来进行加速。

例如下面这道题目

斐波那契数列 - 洛谷https://www.luogu.com.cn/problem/P1962

2.思路

这一题中，达到 $10^{18}$ 的量级，所以很显然不能再用普通的递推来求解了，我们可以使用矩阵快速幂。

如何进行求解呢？

我们知道，设斐波那契数列为，那么其递推公式为：

f_1 = f_2 = 1 $f_i = f_i-1 + f_i-2 (i\geq 3)$

我们尝试把这个递推式放到矩阵里，就变成了这个样子：

$[f_i,f_{i-1}] = [f_{i-1},f_{i-2}] * \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

大家不妨代入一下试一试。

所以这个式子里，最后一个矩阵是如何推出来的呢？

我们可以用列表法来推出最后一个矩阵，我们以后计算的就是这个矩阵的幂。

矩阵	$f_{i-1}$	$f_{i-2}$
$f_{i}$	1	1
$f_{i-1}$	1	0

可以发现，我们只要让表中每一行值为1所对应的值加在一起等于这一行代表的值即可。

接下来，我们考虑如何用矩阵快速幂来求解。

可以发现，把上面的矩阵乘法求斐波那契数列的式子不断展开，就会变成这个样子：

$[f_i,f_{i-1}] = [f_{1},f_{2}] * \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-2}$

其中矩阵的幂次取决于你是从哪一个值开始递推，如果从 f_0 = 0,f_1 = 1 开始递推也是可以的，但是要改成：

$[f_i,f_{i-1}] = [f_{0},f_{1}] * \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1}$

所以，我们用求解快速幂的方法带入到矩阵中，再模拟矩阵乘法，就可以用的复杂度求解了。

3. 代码实现

要注意的是，矩阵 ans 初始化的时候应该类似于数字中的，所以我们把矩阵 ans 从左上到右下的所有值都初始化为1，其他初始化为0，这样就是一个初始矩阵了。

大家可以尝试一下，很容易发现这个道理。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
const int mod = 1e9+7; //模数
struct A //结构体存矩阵
{
	long long a[3][3];
};
A multi(A a,A b) //模拟矩阵乘法
{
	A ans;
	for (int i=1;i<=2;i++)
	{
		for (int j=1;j<=2;j++)
		{
			ans.a[i][j] = 0;
			for (int k=1;k<=2;k++)
			{
				ans.a[i][j] = (ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
				ans.a[i][j] %= mod;
			}
		}
	}
	return ans;
}
long long qpows(long long b)
{
	A ans,a;
	a.a[1][1] = 1; //初始化斐波那契
	a.a[1][2] = 1;
	a.a[2][1] = 1;
	a.a[2][2] = 0;
	ans.a[1][1] = 1; //初始化答案矩阵
	ans.a[1][2] = 0;
	ans.a[2][1] = 0;
	ans.a[2][2] = 1;
	while (b) //快速幂
	{
		if (b & 1) ans = multi(ans,a);
		a = multi(a,a);
		b >>= 1;
	}
	return ans.a[1][1]%mod;
	
}
int main()
{
	cin >> n;
	if (n <= 2)  //特判
	{
		cout<<1;
		return 0;
	}
	cout<<qpows(n-1);
	return 0;
}

三. 结语

矩阵快速幂的应用范围相当广泛，当我们需要优化递推或动态规划时，往往会考虑使用矩阵快速幂，大家可以再去练习一下广义斐波那契数列 - 洛谷来巩固所学内容。