[电路]系列文章目录
1-发出功率和吸收功率关系
2-独立源和受控源
3-基尔霍夫定律
4-两端电路等效变换、电阻串并联
5-电压源、电流源的串联和并联
6-电阻的星形连接和角形连接等效变换（星角变换）
7-实际电源模型和等效变换
8-无源一端口网络输入电阻
9-电路的图及相关概念
10-支路电流法
11-网孔电流法
一、概述
1 定义
以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法
2 思路
为减少未知量（方程）的个数，假想每个回路中有一个回路电流，各支路电流可用回路电流的线性组合表示，来求得电路的解
3 列写方程说明
以如下电路为例，对网孔电流法需要列写方程的标准形式进行分析。
分析：
上述电路平面图内含有两个网孔，用“网孔 1”和“网孔 2”表示。
每个网孔设定网孔电流的绕行方向，图中两个网孔电流均为顺时针，用
i
l
1
i_{l1}
il1 和
i
l
2
i_{l2}
il2 表示，并且利用网孔电流为每个网孔列写 KVL 方程。
{
(
R
1
+
R
2
)
i
l
1
−
R
2
i
l
2
=
u
S
1
−
u
S
2
−
R
2
i
l
1
+
(
R
2
+
R
3
)
i
l
2
=
u
S
2
\begin{cases}(R_{1}+R_{2})i_{l1}-R_{2}i_{l2}=u_{S1}-u_{S2}\\ -R_{2}i_{l1}+(R_{2}+R_{3})i_{l2}=u_{S2}\end{cases}
{(R1+R2)il1−R2il2=uS1−uS2−R2il1+(R2+R3)il2=uS2
方程标准形式：
{
R
11
i
l
1
+
R
12
i
l
2
=
u
s
l
1
R
21
i
l
1
+
R
22
i
l
2
=
u
s
l
2
\begin{cases}R_{11}i_{l1}+R_{12}i_{l2}=u_{sl1}\\ R_{21}i_{l1}+R_{22}i_{l2}=u_{sl2}\end{cases}
{R11il1+R12il2=usl1R21il1+R22il2=usl2
式中，用自阻、互阻 和 电压源电压代数和的形式进行表示。
{
R
11
=
R
1
+
R
2
R
22
=
R
2
+
R
3
R
12
=
R
21
=
−
R
2
u
s
l
1
=
u
S
1
−
u
S
2
u
s
l
2
=
u
S
2
\begin{cases}R_{11}=R_{1}+R_{2}\\ R_{22}=R_{2}+R_{3}\\ R_{12}=R_{21}=-R_{2}\\ u_{sl1}=u_{S1}-u_{S2}\\ u_{sl2}=u_{S2}\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧R11=R1+R2R22=R2+R3R12=R21=−R2usl1=uS1−uS2usl2=uS2
自阻：
定义：
每个网孔中所有电阻之和，电阻符号具有相同双下标，如
R
11
R_{11}
R11，表示网孔 1 的自阻
符号：
自阻前面的符号总为正
互阻：
定义：
两个网孔之间共有的电阻，电阻符号具有不同的双下标，如
R
12
R_{12}
R12，表示网孔 1 和网孔 2 的互阻
符号：
当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互阻取正号，否则为负号
电压源电压代数和：
每个网孔内电压源的代数和，放在表达式的右侧，当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号，反之取正号
4 公式推广
对于具有 l 个网孔的电路，网孔电流的一般形式如下：
{
R
11
i
l
1
+
R
12
i
l
2
+
⋯
+
R
1
l
i
l
l
=
u
s
l
1
R
21
i
l
1
+
R
22
i
l
2
+
⋯
+
R
2
l
i
l
l
=
u
s
l
2
⋯
R
l
1
i
l
1
+
R
l
2
i
l
2
+
⋯
+
R
l
l
i
l
l
=
u
s
l
l
\begin{cases}R_{11}i_{l1}+R_{12}i_{l2}+\cdots +R_{1l}i_{ll}=u_{sl1}\\ R_{21}i_{l1}+R_{22}i_{l2}+\cdots +R_{2l}i_{ll}=u_{sl2}\\ \cdots \\ R_{l1}i_{l1}+R_{l2}i_{l2}+\cdots +R_{ll}i_{ll}=u_{sll}\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧R11il1+R12il2+⋯+R1lill=usl1R21il1+R22il2+⋯+R2lill=usl2⋯Rl1il1+Rl2il2+⋯+Rllill=usll
二、使用步骤
- 选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；
- 以网孔电流为未知量，列写其 KVL 方程；
- 求解上述方程，得到 l 个网孔电流；
- 求各支路电流；
- 其它分析。
注意：
- 网孔电流法仅适用于平面电路
- 如果两个网孔之间没有共有支路，或者有共有支路但其电阻为零，则互阻为零
三、例题
题目：
使用网孔电流法求各支路电流
分析：
如图所示，该电路共有 3 个网孔，网孔 1 和网孔 2 共用 20Ω 电阻，网孔 2 和网孔 3 共用 40Ω 电阻
解题：
- 列网孔电流方程：
{ R 11 = 60 + 20 = 80 Ω R 22 = 20 + 40 = 60 Ω R 33 = 40 + 40 = 80 Ω R 12 = R 21 = − 20 Ω R 13 = R 31 = 0 R 23 = R 32 = − 40 Ω u s l 1 = 180 − 70 = 110 V u s l 2 = 70 V u s l 3 = − 20 V \begin{cases}R_{11}=60+20=80 \Omega \\ R_{22}=20+40=60\Omega \\ R_{33}=40+40=80\Omega \\ R_{12}=R_{21}=-20\Omega \\ R_{13}=R_{31}=0\\ R_{23}=R_{32}=-40\Omega \\ u_{sl1}=180-70=110V\\ u_{sl2}=70V\\ u_{sl3}=-20V\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧R11=60+20=80ΩR22=20+40=60ΩR33=40+40=80ΩR12=R21=−20ΩR13=R31=0R23=R32=−40Ωusl1=180−70=110Vusl2=70Vusl3=−20V
故网孔电流方程为：
{ 80 I 1 − 20 I 2 = 110 − 20 I 1 + 60 I 2 − 40 I 3 = 70 − 40 I 2 + 80 I 3 = − 20 \begin{cases}80I_{1}-20I_{2}=110 \\ -20I_{1}+60I_{2}-40I_{3}=70 \\ -40I_{2}+80I_{3}=-20 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧80I1−20I2=110−20I1+60I2−40I3=70−40I2+80I3=−20
2.使用行列式法，解得回路电流：
Δ
=
∣
80
−
20
0
−
20
60
−
40
0
−
40
80
∣
=
224000
\Delta = \begin{vmatrix}80 & -20 & 0 \\-20 & 60 & -40 \\ 0 & -40 & 80\end{vmatrix}=224000
Δ=∣∣∣∣∣∣80−200−2060−400−4080∣∣∣∣∣∣=224000
Δ
1
=
∣
110
−
20
0
70
60
−
40
−
20
−
40
80
∣
=
448000
\Delta _{1}= \begin{vmatrix}110 & -20 & 0 \\70 & 60 & -40 \\ -20 & -40 & 80\end{vmatrix}=448000
Δ1=∣∣∣∣∣∣11070−20−2060−400−4080∣∣∣∣∣∣=448000
Δ
2
=
∣
80
110
0
−
20
70
−
40
0
−
20
80
∣
=
560000
\Delta _{2}=\begin{vmatrix}80 & 110 & 0 \\-20 & 70 & -40 \\ 0 & -20 & 80\end{vmatrix}=560000
Δ2=∣∣∣∣∣∣80−20011070−200−4080∣∣∣∣∣∣=560000
Δ
3
=
∣
80
−
20
110
−
20
60
70
0
−
40
−
20
∣
=
224000
\Delta _{3}= \begin{vmatrix}80 & -20 & 110 \\-20 & 60 & 70 \\ 0 & -40 & -20\end{vmatrix}=224000
Δ3=∣∣∣∣∣∣80−200−2060−4011070−20∣∣∣∣∣∣=224000
{
I
1
=
Δ
1
Δ
=
2
A
I
2
=
Δ
2
Δ
=
2.5
A
I
3
=
Δ
3
Δ
=
1
A
\begin{cases}I_1=\frac {\Delta _{1}}{\Delta}=2A \\ I_2=\frac {\Delta _{2}}{\Delta}=2.5A \\ I_3=\frac {\Delta _{3}}{\Delta}=1A \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧I1=ΔΔ1=2AI2=ΔΔ2=2.5AI3=ΔΔ3=1A
3. 各支路电流：
{
I
a
=
I
1
=
2
A
I
b
=
−
I
1
+
I
2
=
0.5
A
I
c
=
I
2
−
I
3
=
1.5
A
I
d
=
−
I
3
=
−
1
A
\begin{cases}I_a=I_1=2A \\ I_b=-I_1+I_2=0.5A \\ I_c=I_2-I_3=1.5A \\ I_d=-I_3=-1A\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Ia=I1=2AIb=−I1+I2=0.5AIc=I2−I3=1.5AId=−I3=−1A
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