数学建模学习笔记 | 插值算法

在数学建模的比赛中，通常要处理由试验、测量得到的大量数据或者一些过于复杂而不便于计算的函数表达式，然而有时候我们得到的数据是很少的，不可以进行数据的分析运算，这时候就需要模拟产生一些新的可靠的数据来满足我们的需求，这种方法是插值。其中在插值算法中，一维插值为一个x对应一个y，而多维插值则是多个x对应多个y

二、一维插值

1.插值目标

构造出一个简单函数经过我们现知道的所有点，这个函数是不唯一的，如下图所示为其中一种插值方法，黑色的点为我们已知的所有点，红色的点为我们预测的点

2.传统插值方法

为了满足以上的目标，有以下三种实现的方法：

- 代数多项式插值

- 分段插值

- 三角插值

1.多项式的插值方法

定理：存在唯一的多项式！！！

Ps：

只要n+1个节点互不相同，则该条件的n阶多项式唯一

如果不限制多项式即n的次数，插值多项式不唯一，也就是说可以更曲折

2.拉格朗日插值法

数学解释

用法例子说明：

规律：整体x分别与不同的y相乘然后相加，整体的x分子为x未知数分别与剩下的点相减后相乘法，分母为该点的x值分别与剩下的点相减后相乘法

缺点-龙格现象

红色为原来的函数，蓝色为预测的，由图可知，n的次数越高，他的尾部震荡越大，因此一般不熟悉运动趋势的情况下，不要轻易用高次插值，为了减低龙格现象，因此引入了分段思想

3.分段插值（最常用）

由于多项式次数高精度不一定高，而且误差可能会比较大，因此采用分段低次插值，也就是说按照几个点几个点的来预测一段一段的函数，然后拼接在一起

- 分段线性插值

两个点连在同一条直线上，然后预测中间所包含的值，但是又不准的地方

- 分段二次插值

三个点组成二次函数，然后再拼接在一起，组成新的函数进行预测

4.牛顿插值

找一个n次多项式，但是和拉格朗日不一样，加入了差商，减少了计算量，都是在前一项进行差商具有继承性，但是都存在龙格现象，这两种插值方法不能全面的反映被插函数的性态，缺乏导数值，因此很少用

3.常用插值方法

1.埃尔米特插值

不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式，他保证了曲线在节点是光滑的2

2.分段三次埃尔米特插值

直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格线性，因此往往使用三次埃尔米特插值

操作如下：在matlab中有内置函数pchip

% 分段三次埃尔米特插值
x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
figure(1); % 在同一个脚本文件里面，要想画多个图，需要给每个图编号，否则只会显示最后一个图哦~
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

3.三次样条插值

三次样条插值不仅仅要求二阶连续，而且还要求三阶连续

操作如下：在matlab中有内置函数spline

% 三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比
x = -pi:pi; 
y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x,y,new_x);   %分段三次埃尔米特插值
p2 = spline(x,y,new_x);  %三次样条插值
figure(2);
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast')   %标注显示在东南方向

效果比较

可以看出三次样条插值更加光滑，但是在实际项目中不确定函数的形状，因此两种插值都可以用

三.n维数据插值

操作方法：在matlab中有内置函数interpn

% n维数据的插值
x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = interpn (x, y, new_x, 'spline');
% 等价于 p = spline(x, y, new_x);
figure(3);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

Ps：可以验证一维插值