二元一次方程组
二元一次方程组求解：
高斯消元法：加减消元法，代入消元法
齐次二元一次方程组：常数项为0
{
x
+
y
=
0
2
x
+
2
y
=
0
\begin{cases} & \text{ } x+y= 0 \\ & \text{ } 2x+2y=0 \end{cases}
{ x+y=0 2x+2y=0
求解可包含两种情况：只有零解，存在非零解。
非齐次二元一次方程组: 常数项不为0
{
x
+
y
=
3
2
x
+
2
y
=
8
\begin{cases} & \text{ } x+y= 3 \\ & \text{ } 2x+2y=8 \end{cases}
{ x+y=3 2x+2y=8
求解可包含三种情况：唯一解，无穷解，无解。
齐次线性方程组的一般形式：
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
0
\begin{cases} & \text{ } a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +\dots+a_{1n} x_{n} = 0 \\ & \text{ } a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +\dots+a_{2n} x_{n} = 0 \\ & \text{ } a_{m1} x_{1} +a_{m2} x_{2} +\dots+a_{mn} x_{n} = 0 \end{cases}
⎩
⎨
⎧ a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0 a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0 am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0
其中，x为未知数，而系数的角标第一个数表示为在第几个方程中，第二个系数表示与第几个未知数相乘。
向量
向量的点乘运算（数量积运算）：
方程
x
1
+
3
x
2
+
5
x
3
=
0
x_{1} +3x_{2} +5x_{3} =0
x1+3x2+5x3=0
可通过向量表示为
(
1
3
5
)
⋅
(
x
1
x
2
x
3
)
=
0
\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} &x_{3} \end{pmatrix}=0
(135)⋅(x1x2x3)=0
向量可分为行向量和列向量：
行向量
(
1
2
3
)
\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \end{pmatrix}
(123)
列向量
[
1
2
3
]
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}
123
列向量又可表示为
(
1
2
3
)
T
\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}^{T}
(123)T
由上述规则可知，齐次线性方程组
{
x
1
+
3
x
2
+
5
x
3
=
0
2
x
1
+
4
x
2
+
6
x
3
=
0
2
x
1
+
5
x
2
+
8
x
3
=
0
\left\{\begin{matrix} x_{1} +3x_{2} +5x_{3} =0\\ 2x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=0 \\ 2x_{1}+5x_{2}+8x_{3}=0 \end{matrix}\right.
⎩
⎨
⎧x1+3x2+5x3=02x1+4x2+6x3=02x1+5x2+8x3=0
可以表示为
[
1
3
5
2
4
6
2
5
8
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
0
0
0
]
\begin{bmatrix} 1 &3 &5 \\ 2& 4& 6\\ 2&5 &8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}
122345568
x1x2x3
=
000
在整个结构中包含系数矩阵A，未知向量X，以及结果向量0。其中系数矩阵A为：
[
1
3
5
2
4
6
2
5
8
]
\begin{bmatrix} 1 &3 &5 \\ 2& 4& 6\\ 2&5 &8 \end{bmatrix}
122345568
未知向量x为：
[
x
1
x
2
x
3
]
\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}
x1x2x3
结果向量0为
[
0
0
0
]
\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{bmatrix}
000
在齐次线性方程组中，系数矩阵的作用就是将未知向量映射为全零向量
如何利用矩阵来进行高斯消元求解？
初等行变换1: 给某行同时乘以一个非零常数k
初等行变换2: 交换某两行的位置
初等行变换3: 把某一行的k倍加到另一行上
阶梯矩阵： 阶梯线下方所有元素都为0，越往下，方程式越简单。阶梯矩阵是解方程组的关键。
非齐次线性方程组和增广矩阵
非齐次线性方程组
{
x
1
+
3
x
2
+
5
x
3
=
2
2
x
1
+
4
x
2
+
6
x
3
=
4
2
x
1
+
5
x
2
+
8
x
3
=
4
\left\{\begin{matrix} x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=2 \\ 2x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=4 \\ 2x_{1}+5x_{2}+8x_{3}=4 \end{matrix}\right.
⎩
⎨
⎧x1+3x2+5x3=22x1+4x2+6x3=42x1+5x2+8x3=4
可以通过矩阵表示为：
[
1
3
5
2
4
6
2
5
8
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
2
4
4
]
\begin{bmatrix} 1 &3 &5 \\ 2&4 &6 \\ 2 &5 &8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 4 \end{bmatrix}
122345568
x1x2x3
=
244
由于在非齐次线性方程组中，结果向量非零，因此系数矩阵和结果矩阵需要同步变换，可以将系数矩阵和结果矩阵合并，写为增广矩阵：
[
1
3
5
2
2
4
6
4
2
5
8
4
]
\begin{bmatrix} 1&3&5&2\\ 2&4&6&4\\ 2&5&8&4 \end{bmatrix}
122345568244
和齐次线性方程组的化简一样，非齐次线性方程组需要对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯矩阵，继而简化求解。