CAD是一门利用计算机技术和图形设备辅助工程师设计的技术，它融合了数学、物理等多学科知识。而数学又是基础中的基础，从简单的点线面，到复杂的微分几何，数学的身影无处不在，特别是像几何内核、数值仿真这种基础计算程序。个人认为，数学可以通过以下两种方式来提升计算效率：

• 提出新的计算方式，简化计算步骤，提升计算效率。经典的例子是对数的发明，相当于延长了科学家的生命。
• 将问题归纳和抽象为数学概念，集中研究解决方法。经典的例子是线性代数，发展了各种各样的快速求解方程组的方法。

       无疑，学好数学对编写高性能的CAD程序非常有好处。下面以几个例子说明这一点。

1. 计算几何：凸包算法

       凸包在CAD建模中有重要应用，比如碰撞检测。如图1所示，给定平面上点集 S = { P i ∣ i = 1 , . . , n } S=\{P_i|i=1,..,n\} S={Pi​∣i=1,..,n} ，其凸包 $\Phi (S)$ 是：顶点取自于 $S$ ，且包含 $S$ 中所有点的凸多边形。有一个更加形象的理解是，将点想象成钉在桌子上钉子，将一个橡皮筋撑大，使其包围所有的钉子，松开手后，橡皮筋的形状就是这些点的凸包。

       假设 $\Phi$ 是顺时针的，则需要找到所有这样的点对 $(P_i,P_j)$ ，使得所有其它点都在边 $P_i{P}_j$ 的右侧。不难看出，可能的边有 $n(n-1)$条，每条边都要进行 $n-2$ 次左右侧判断，因此，一般凸包算法的计算复杂度为 $O(n^3)$ 。在实际应用中，这样一个需要运行三次方时间的凸包算法，除非是处理小规模的输入集，否则都会由于太慢而毫无用处。

       接下来介绍一种计算凸包的递增式算法。如图2所示，首先，对所有点按照X坐标进行排序，这一处理的复杂度为 $O(nlogn)$ 。然后，借助于第一个点 $P_1$ 和最后一个点 $P_{16}$ ，将凸包一分为二，分为上凸包和下凸包，分别查找。最后，将2个凸包合并即完成任务。

       递增式算法的基本思路是：在已有凸包列表的基础上，取其最后2个点，寻找“右拐点”，比如 $P_7$ 在$P_1{P}_3$的右侧，即为右拐点。对于上凸包，首先将 $P_1$ 和 $P_2$ 加入上凸包列表 ${\Phi }_{upper}$ 中，满足列表中至少有2个点。然后，遍历到$P_3$，相对于$P_1$ 和 $P_2$，$P_3$ 是左拐点，需要从列表中删除 $P_2$，并将 $P_3$ 放入 ${\Phi }_{upper}$ 。相对于$P_1$ 和 $P_3$，$P_4$ 是右拐点，将其放入 ${\Phi }_{upper}$ ，同样地，相对 ${\Phi }_{upper}$ 中的最后2个点，$P_5$ 和 $P_6$ 也是右拐点，也会被放入 ${\Phi }_{upper}$。但是，$P_7$ 的引入又会将 $P_6$、 $P_5$ 和 $P_4$ 依次从 ${\Phi }_{upper}$ 中删除，因为 $P_7$ 相对这些点都是左拐点，直到 ${\Phi }_{upper}$ 仅剩下 $P_1$ 和 $P_3$ ，才将 $P_7$ 加入列表。接下来的过程与前面相似，不做赘述。

       寻找上凸包的算法复杂度是 $O(n)$，因为每个点至多被删除1次。同样地，下凸包也可以用类似方法在 $O(n)$ 时间内找到。综合排序的复杂度，递增式算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$！

       正如文献[1]中所言，面对几何算法问题，需要具备两方面的要素：(1) 对该问题的几何特性的深刻理解；(2) 算法和数据结构的合理应用。个人认为，“右拐点的抽象”和“渐增式寻找”分别是上面2个要素的体现。

2. 线性代数：通过点插值Nurbs曲线

       给定一系列点，计算一条Nurbs曲线，使其通过这些点，是CAD建模中的基础问题。首先大概了解一下Nurbs插值的一般步骤（如图3）：(1) 确定这些点在曲线上的参数$u_i$；(2) 确定曲线的次数和节点向量；(3) 对于$u_i$，计算基函数取值$a_{ij}(j=1,2,...,n)$ (后面简称为基值)；(4) 组装基值矩阵$A$，求解方程组$AX=B$。这是一个$n\ast n$的线性方程组，当$B$是$V_i$的$x$坐标组成的向量，求解得到$X$，就是曲线的极点$P_i$的$x$坐标。同理，可以计算出极点$P_i$的$y$坐标和$z$坐标。当通过点达到一定数目时，第4步的计算会占用绝大多数时间。

       不幸的是，一般的求解线性方程组的时间复杂度是$O(n^3)$，也就是说，通过点个数增加到原来的2倍，计算时长可能增加到原来的8倍，这是异常恐怖的（后面简称翻倍增长率）。因此，众多求解方程组的快速方法被研究出来，这里以经典的线性库Eigen为例，展示不同求解算法的效率差别，见表1。不难看出，不同求解方法的差异非常大。

       第一列直接使用稠密矩阵的QR分解（Dense QR），实际的翻倍增长率是略小于8倍，但当点数较多时，计算时长是无法接受的。根据Nurbs的局部支撑性，给定参数$u$，只有degree+1个基值不是0，也就是说可以采用稀疏矩阵，来提高计算效率和减少内存占用。因此，第二列同样采用QR分解，但计算A是稀疏矩阵，可以看出，在点数目相同情况下，计算的时长被大大减少，并且翻倍增长率大概为4。第三列采用稀疏矩阵的LU分解，计算时长再次大幅减少，并且翻倍增长率小于2。第4列采用稀疏矩阵的Cholesky方法求解，是一种迭代求解方法，虽然计算时长更短，但在实际测试，生成的Nurbs容易出现异常波浪，预示着数值稳定性较差。

       限于篇幅，本文不打算分析这些方法的原理、特点，只是举例说明线性方程组在现代数值算法中的重要性和在CAD性能提升方面的应用。

3. 微积分：计算封闭曲线包围的面积

       如图4，给定一条简单的封闭曲线，如何计算其包围的面积是一个微积分在CAD建模领域的经典应用。假设这条曲线是由一系列点$V_i(i=1,\mathrm{2...},n)$组成的多段线$L$。一种可行的计算方法是将此区域划分为三角形，然后再求每个三角形的面积，所有三角形的面积之和就是包围的面积，但三角化的计算复杂度较高。

       本文采用格林公式来解决这个问题，时间复杂度为$O(n)$。格林公式为：
$$\underset{\sigma }{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma =\underset{L^{+}}{\oint }Pdx+Qdy.$$
它描述了“平面上沿闭曲线 $L$ 的曲线积分”与“曲线 $L$ 所围成区域 $\sigma$ 的面积积分”之间的关系，这是格林公式能解决此问题的基础。当$P=-y，Q=0$时，有：
$$\underset{\sigma }{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma =\underset{\sigma }{\iint }1d\sigma =\underset{L^{+}}{\oint }-ydx.$$
中间项即代表$L$包围的面积。

                                                                            图4. 封闭曲线$L$包围的区域$\sigma$
 

       在实际计算中，取$y=\frac{y_i+y_{i+1}}{2}$，以及$dx=x_{i+1}-x_i$，则包围面积可以表示为：
$$A=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i-x_{i+1}).$$
如图4所示，上式中的第$i$项的几何意义是第$i$段线段与$X$轴围成的矩形面积。由于只需要遍历每个线段，此算法的计算复杂度是$O(n)$。

       关于这个主题的拓展有两个：

• 根据格林公式计算的面积是有向面积，当曲线逆时针时，面积为正（即图4所示），反之，面积为负。因此可以通过所求面积的正负判断曲线的旋向。
• 2D封闭曲线所围成的面积可以通过格林公式快速计算，那么，3D封闭曲面所围成的体积怎样快速计算呢？答案是高斯公式。

       CAD技术从诞生到现在，不过60年，何以在工业界如此举足轻重？个人以为，CAD技术并没有太多的理论创新，而是顺应计算机发展的应用，是建立在数学、物理等基础学科的几百年积累之上的。数学工具是相当丰富的，是足够的，但同时也是难以快速掌握的，因此，这需要长时间的积累，切不可一蹴而就，而是要长期保持学习的状态。与诸君共勉！

参考文献

[1] 计算几何——算法与应用（第3版），Mark de Berg等，清华大学出版社。

[2] 数值分析（第2版），Timothy Sauer，机械工业出版社。

[3] 工科数学分析基础（第2版，下册），马知恩等，高等教育出版社。

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