Day56_20250204_图论part1_图论理论基础|深搜理论基础|98.所有可达路径|广搜理论基础
深搜理论基础
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基础知识
- 深搜与广搜
- 并查集
- 最小生成树
- 拓扑排序
- 最短路算法
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图论理论基础
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图的基本概念
- 多个点连线
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连通性
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表示节点的连通情况
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无向图
- 连通图
- 非连通图
- 连通分量：极大连通子图。
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有向图
- 强连通图
- 任何两个节点是可以相互到达的。
- 强连通分量：在有向图中极大强连通子图
- 强连通图
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图的构造
- 组成：邻接表、临接矩阵、类。主要是朴素存储、邻接表和临接矩阵
- 邻接矩阵：
- 二维数组来表示图结构。
- 从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。
- 邻接表
- 数组+链表
- 从边的数量来表示图，有多少边申请对应大小的链表。
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图的遍历方式
- 深度优先搜索(dfs) ex:二叉树的递归遍历
- 广度优先搜索(bfs) ex:二叉树的层序遍历
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深度优先搜索理论基础(dfs)
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dfs和bfs的区别
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dfs深度优先搜索：
- 可一个方向去搜，不到黄河不回头。直到无法继续搜下去，再换方向(回溯)
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bfs广度优先搜索：
- 先把本节点所连接的所有节点遍历一遍，走到下一个节点的时候，再把连接节点的所有节点遍历一遍，搜索方向更像是广度，四面八方的搜索过程。
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dfs搜索过程
- dfs搜索可一个方向，并需要回溯，所以用递归的方式来实现是最方便的。
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代码模板
- dfs，回溯
void dfs(参数){ if(终止条件){ 存放结果； return; } for(选择：本节点所连接的其他节点){ 处理节点； dfs(图，选择的节点)； 回溯，撤销处理结果 } }
- dfs，回溯
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深搜三部曲
void dfs(参数)//1.确认递归函数、参数 //2.确认终止条件,收获结果 if(终止条件){ 存放结果； return; } //3.处理目前搜索节点出发的路径 for(选择：本节点所连接的其他节点){ 处理节点； dfs(图，选择的节点)；//递归 回溯，撤销处理结果 }-
二维数组结构保存所有路径，一维数组保存单一路径。定义全局变量
vector<vector<int>> result; // 保存符合条件的所有路径 vector<int> path; // 起点到终点的路径 void dfs (图，目前搜索的节点)
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98.所有可达路径
题目
给定一个有 n 个节点的有向无环图，节点编号从 1 到 n。请编写一个函数，找出并返回所有从节点 1 到节点 n 的路径。每条路径应以节点编号的列表形式表示。
输入：
第一行包含两个整数 N，M，表示图中拥有 N 个节点，M 条边
后续 M 行，每行包含两个整数 s 和 t，表示图中的 s 节点与 t 节点中有一条路径
输出：
输出所有的可达路径，路径中所有节点之间空格隔开，每条路径独占一行，存在多条路径，路径输出的顺序可任意。如果不存在任何一条路径，则输出 -1。
注意输出的序列中，最后一个节点后面没有空格！ 例如正确的答案是 1 3 5,而不是 1 3 5 ， 5后面没有空格！
例子：
输入：
5 5
1 3
3 5
1 2
2 4
4 5
输出：
输出所有的可达路径，路径中所有节点之间空格隔开，每条路径独占一行，存在多条路径，路径输出的顺序可任意。如果不存在任何一条路径，则输出 -1。
注意输出的序列中，最后一个节点后面没有空格！ 例如正确的答案是 1 3 5,而不是 1 3 5 ， 5后面没有空格！
思路
- 思路
- 代码
- 邻接矩阵
import java.util.ArrayList;//动态数组，存储任意类型的元素， import java.util.List;//有序的元素集合 import java.util.Scanner;//从标准输入中读取数据 public class Main{ //2个路径 static List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();//所有路径 static List<Integer> path=new ArrayList<>();//1节点到终点的路径 public static void main(String[] args){ //输入 n个节点，m条边 Scanner scanner=new Scanner(System.in); int n=scanner.nextInt(); int m=scanner.nextInt(); //邻接矩阵构建 int[][] graph=new int[n+1][n+1]; for(int i=0;i<m;i++){ int s=scanner.nextInt(); int t=scanner.nextInt(); //使用邻接矩阵表示无向图，1表示s与t是相连的 graph[s][t]=1; } //路径搜索部分 path.add(1);//无论什么路径已经是从1节点出发 dfs(graph,1,n);//开始遍历 //打印输出结果 if(result.isEmpty()) System.out.println(-1); for(List<Integer> pa:result){ for(int i=0;i<pa.size()-1;i++){ System.out.print(pa.get(i)+" "); } System.out.println(pa.get(pa.size()-1)); } } //递归 public static void dfs(int[][] graph,int x,int n){ //终止条件，当前遍历的节点x到达节点n if(x==n){ result.add(new ArrayList<>(path)); return; } for(int i=1;i<=n;i++){ if(graph[x][i]==1){//找到x链接的节点 path.add(i);//遍历到的节点加入到路径中来。 dfs(graph,i,n);//下一层递归 path.remove(path.size()-1);//回溯，撤销本节点 } } } } - 邻接表
import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.List; import java.util.Scanner; public class Main{ //2个路径 static List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();//收集符合条件的路径 static List<Integer> path=new ArrayList<>();//1节点到终点的路径 public static void main(String[] args){ //输入 Scanner scanner=new Scanner(System.in); int n=scanner.nextInt(); int m=scanner.nextInt(); //邻接表，表的数量=边的数量 List<LinkedList<Integer>> graph=new ArrayList<>(n+1); for(int i=0;i<=n;i++){ graph.add(new LinkedList<>()); } //？ while(m-->0){ int s=scanner.nextInt(); int t=scanner.nextInt(); //s和t是相连的 graph.get(s).add(t); } path.add(1);//无论什么路径已经是从1节点出发 dfs(graph,1,n);//开始遍历 //打印输出结果 if(result.isEmpty()) System.out.println(-1); //遍历并打印所有路径 //遍历所有路径，pa每一条路径 for(List<Integer> pa:result){ //打印路径中的每个节点,从起点1到终点n的一条路径。最后输出一个多余的空格 for(int i=0;i<pa.size()-1;i++){ System.out.print(pa.get(i)+" "); } //打印路径最后一个节点 System.out.println(pa.get(pa.size()-1));// } } public static void dfs(List<LinkedList<Integer>> graph,int x,int n){ //终止条件 if(x==n){ result.add(new ArrayList<>(path)); return; } //递归 for(int i:graph.get(x)){ path.add(i); dfs(graph,i,n);//进入下一层递归 path.remove(path.size()-1);//回溯，撤销本节点 } } }
- 邻接矩阵
总结
- 掌握邻接表和邻接图的代码写法
- 挺复杂的，需要多练习几遍
广搜理论基础广搜(bfs)是一圈一圈的搜索过程，和深搜(dfs)是一条路跑到黑然后再回溯。
- 使用场景：
- 解决两个点之间的最短路径问题。
- 广搜是从起点出发，以起始点为中心一圈一圈进行搜索，一旦遇到终点，记录之前走过的节点就是一条最短路。
- 岛屿问题广搜深搜都可以，特征是不涉及具体的遍历方式，只要能把相邻且相同属性的节点标记上就行。
- 一旦遇到终止点，一定是一条最短路径。地图中可以有障碍。
- 怎么进行一圈一圈的搜索，放在什么容器里，才能这样去遍历。
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需要一个容器，保存遍历过的元素就可以。队列，栈，数组
- 队列，每一圈都是一个方向去转，统一顺时针或逆时针
- 栈，第一圈顺时针遍历，第二圈逆时针遍历，第三圈顺时针遍历
- 数组，
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int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 表示四个方向 // grid 是地图，也就是一个二维数组 // visited标记访问过的节点，不要重复访问 // x,y 表示开始搜索节点的下标 void bfs(vector<vector<char>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y) { queue<pair<int, int>> que; // 定义队列 que.push({x, y}); // 起始节点加入队列 visited[x][y] = true; // 只要加入队列，立刻标记为访问过的节点 while(!que.empty()) { // 开始遍历队列里的元素 pair<int ,int> cur = que.front(); que.pop(); // 从队列取元素 int curx = cur.first; int cury = cur.second; // 当前节点坐标 for (int i = 0; i < 4; i++) { // 开始想当前节点的四个方向左右上下去遍历 int nextx = curx + dir[i][0]; int nexty = cury + dir[i][1]; // 获取周边四个方向的坐标 if (nextx < 0 || nextx >= grid.size() || nexty < 0 || nexty >= grid[0].size()) continue; // 坐标越界了，直接跳过 if (!visited[nextx][nexty]) { // 如果节点没被访问过 que.push({nextx, nexty}); // 队列添加该节点为下一轮要遍历的节点 visited[nextx][nexty] = true; // 只要加入队列立刻标记，避免重复访问 } } } }
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