1. Simplex（单纯形）定义

在文中，单纯形 $C$是一种特殊的多面体。它由$k+1$ 个点 $v_0,v_1,\dots ,v_k$​ 构成，并且这些点是仿射独立（affinely independent）的，这意味着这些点的差向量是线性独立的。

1. 仿射独立的意思是，给定的 $k+1$ 个点 $v_0,v_1,\dots ,v_k$中，任何一个点都不能通过其余 $k$ 个点的仿射组合得到。换句话说，这些点是处在不同方向上的，它们之间的相对位置不能由低维的空间来描述。

2. 仿射组合是指点的线性组合，但系数的和等于 1。仿射组合的形式为：
   $${\theta }_0{v}_0+{\theta }_1{v}_1+\cdots +{\theta }_k{v}_k$$

   其中 ${\theta }_0+{\theta }_1+\cdots +{\theta }_k=1$。

3. 线性独立指的是这些点的差向量 $v_1-v_0,v_2-v_0,\dots ,v_k-v_0$ 彼此之间是线性独立的，这意味着这些向量之间不存在非平凡的线性组合使它们等于零。这保证了这些点构成的单纯形具有“最大可能的维度”。

例：

1. 二维情况下（2D）：

• 假设有三个点 $v_0=(0,0)$，$v_1=(1,0)$，和 $v_2=(0,1)$。
• 这三个点是仿射独立的，因为它们的差向量 $v_1-v_0=(1,0)$和 $v_2-v_0=(0,1)$ 是线性独立的。
• 这意味着它们可以生成一个二维的三角形，并且这个三角形是一个 2D 单纯形。

如果这些点中的某一个点是可以通过其它点的仿射组合表示的，比如 $v_2=\frac{1}{2}{v}_0+\frac{1}{2}{v}_1$，那么这些点就不再是仿射独立的。这种情况下，它们会共线，而不能构成三角形。

2. 三维情况下（3D）：

• 假设有四个点 $v_0=(0,0,0)$，$v_1=(1,0,0)$，$v_2=(0,1,0)$，和 $v_3=(0,0,1)$。
• 这些点是仿射独立的，因为 $v_1-v_0,v_2-v_0,v_3-v_0$ 是线性独立的差向量，它们分别是三个正交方向的单位向量。
• 它们可以生成一个三维的四面体，这是一个 3D 单纯形。

如果四个点中的一个点可以通过其余三个点的仿射组合表示，比如 $v_3=v_1+v_2$​，那么它们就不是仿射独立的。这时候，它们会处在同一个平面上，而不能生成一个三维的单纯形。

单纯形的定义为：
C = conv { v 0 , … , v k } = { θ 0 v 0 + ⋯ + θ k v k ∣ θ ⪰ 0 ,   1 T θ = 1 } C = \text{conv}\{v_0, \dots, v_k\} = \{\theta_0 v_0 + \dots + \theta_k v_k \mid \theta \succeq 0, \ 1^T \theta = 1\} C=conv{v0​,…,vk​}={θ0​v0​+⋯+θk​vk​∣θ⪰0, 1Tθ=1}
其中：

• $\theta_i $ 是非负系数，满足所有$\theta_i $的和为 1。
• 记号 $⪰$表示逐元素的不等式，即每个 ${\theta }_i\ge 0$。

单纯形可以理解为这些点的凸包，即在这些点之间通过凸组合生成的集合。

2. 仿射维度与几何解释

• 仿射独立性意味着没有一个点可以通过其它点的仿射组合表示。这保证了这些点定义的单纯形在几何上是“最紧致”的凸包。
• 仿射维度是 $k$，所以这个单纯形也称为 $k$-维单纯形。

例：

• 一个1维单纯形是由两个仿射独立点 $v_0,v_1$ 生成的，这就是一条线段。
• 一个2维单纯形是由三个仿射独立点 $v_0,v_1,v_2$ 生成的，这就是一个三角形（包括其内部）。
• 一个3维单纯形是由四个仿射独立点 $v_0,v_1,v_2,v_3$ 生成的，这就是一个四面体。

3. 一些常见的单纯形

一些常见的单纯形例子：

• 1维单纯形：一条线段。
• 2维单纯形：一个三角形。
• 3维单纯形：一个四面体。

此外，还有两个特别的单纯形：

• 单位单纯形：是由零向量 $0$ 和标准单位向量 $e_1,e_2,\dots ,e_n$生成的单纯形。它由满足 $x\ge 0$ 和 $1^{T}x\le 1$ 的点组成。
• 概率单纯形：这是一个 $(n-1)$-维单纯形，由 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 生成。它是所有满足 $x\ge 0$ 和 $1^{T}x=1$ 的点的集合。这些点可以解释为定义在 $n$ 个元素上的概率分布。

4. 将单纯形表示为多面体的形式

为了将单纯形 $C$ 表示为类似多面体的形式（即线性不等式和等式的集合），
$$x=v_0+By$$
其中$y⪰0$ 且 $1^{T}y\le 1$，而矩阵 $B$ 包含了 $v_1-v_0,\dots ,v_k-v_0$ 作为列向量，表示其他点相对于 $v_0$ 的偏移。

• 仿射独立性保证了矩阵 $B$ 的秩为 $k$，这意味着 $B$ 的列向量是线性独立的。
• 存在一个非奇异矩阵 $A$，将矩阵 $B$ 的线性组合解写成标准形式，转化为线性等式和不等式。

5. 结论

通过这样的方式，可以将单纯形 $C$​ 的表示转化为线性不等式和等式的形式，即将单纯形表示为一个多面体。具体地，最后得出的系统是：
$$A_{2}x=A_2{v}_0,A_{1}x⪰A_1{v}_0,1^T{A}_{1}x\le 1+1^T{A}_1{v}_0$$
这实际上是线性不等式和等式系统的描述，说明单纯形可以用多面体的形式表示。