线性二次调节器（LQR） 是一种经典的最优控制方法，用于求解线性系统的状态反馈控制问题。其目标是在满足动态约束的前提下，通过设计状态反馈控制器，使系统的性能指标达到最优。
1. LQR的定义与目标
LQR主要解决以下问题：
-
系统的状态描述为线性动态系统：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)
其中：- x ( t ) ∈ R n x(t) \in \mathbb{R}^n x(t)∈Rn 是系统状态向量；
- u ( t ) ∈ R m u(t) \in \mathbb{R}^m u(t)∈Rm 是控制输入；
- A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n 是状态矩阵；
- B ∈ R n × m B \in \mathbb{R}^{n \times m} B∈Rn×m 是控制矩阵。
-
设计一个控制律 u ( t ) = − K x ( t ) u(t) = -K x(t) u(t)=−Kx(t)，其中 K K K 是控制增益矩阵，使以下性能指标 J J J 最小化：
J = ∫ 0 ∞ ( x ( t ) T Q x ( t ) + u ( t ) T R u ( t ) ) d t J = \int_{0}^{\infty} \left( x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \right) dt J=∫0∞(x(t)TQx(t)+u(t)TRu(t))dt
其中：- Q ∈ R n × n Q \in \mathbb{R}^{n \times n} Q∈Rn×n 是对状态 x ( t ) x(t) x(t) 的加权矩阵（正定或半正定）；
- R ∈ R m × m R \in \mathbb{R}^{m \times m} R∈Rm×m 是对控制输入 u ( t ) u(t) u(t) 的加权矩阵（正定）。
2. LQR的原理
性能指标 J J J
性能指标 J J J 的物理意义是权衡系统偏离零状态（通过 x ( t ) T Q x ( t ) x(t)^T Q x(t) x(t)TQx(t)）和控制能量消耗（通过 u ( t ) T R u ( t ) u(t)^T R u(t) u(t)TRu(t)）的代价。设计 Q Q Q 和 R R R 时：
- 较大的 Q Q Q 强调减少状态偏离；
- 较大的 R R R 强调控制能量的节省。
最优解的计算
LQR 的核心是通过Riccati方程计算最优状态反馈增益矩阵 K K K。具体步骤如下：
- 计算解 Riccati 方程的对称正定矩阵
P
P
P：
A T P + P A − P B R − 1 B T P + Q = 0 A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0
这是一个连续时间代数 Riccati 方程（CARE）。 - 利用
P
P
P 计算反馈增益矩阵：
K = R − 1 B T P K = R^{-1} B^T P K=R−1BTP
控制律
最优控制律为：
u
(
t
)
=
−
K
x
(
t
)
u(t) = -K x(t)
u(t)=−Kx(t)
3. LQR的性质
- 稳定性：如果 Q Q Q 和 R R R 正定，LQR 控制器设计的闭环系统是渐进稳定的。
- 鲁棒性：LQR 对模型的参数扰动具有一定的鲁棒性，但仅限于小扰动。
- 灵活性：通过调整 Q Q Q 和 R R R，可以改变状态和控制能量之间的权衡。
4. 举例说明
问题描述
一个简单的二阶质量-弹簧-阻尼系统：
m
x
¨
+
c
x
˙
+
k
x
=
F
m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = F
mx¨+cx˙+kx=F
将其转换为状态空间形式：
[
x
˙
1
x
˙
2
]
=
[
0
1
−
k
m
−
c
m
]
[
x
1
x
2
]
+
[
0
1
m
]
u
\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u
[x˙1x˙2]=[0−mk1−mc][x1x2]+[0m1]u
其中：
- x 1 = x x_1 = x x1=x 是位移；
- x 2 = x ˙ x_2 = \dot{x} x2=x˙ 是速度；
- u = F u = F u=F 是控制输入。
设参数为：
- m = 1 m = 1 m=1 kg；
- c = 0.5 c = 0.5 c=0.5 Ns/m；
- k = 2 k = 2 k=2 N/m；
- Q = diag ( 1 , 1 ) Q = \text{diag}(1, 1) Q=diag(1,1)；
- R = 0.1 R = 0.1 R=0.1。
解步骤
-
确定状态矩阵 A A A 和控制矩阵 B B B：
A = [ 0 1 − 2 − 0.5 ] , B = [ 0 1 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -0.5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} A=[0−21−0.5],B=[01] -
解 Riccati 方程，得到 P P P：
P = [ 2.236 1.118 1.118 2.618 ] P = \begin{bmatrix} 2.236 & 1.118 \\ 1.118 & 2.618 \end{bmatrix} P=[2.2361.1181.1182.618] -
计算最优增益矩阵 K K K：
K = R − 1 B T P = [ 4.472 3.618 ] K = R^{-1} B^T P = \begin{bmatrix} 4.472 & 3.618 \end{bmatrix} K=R−1BTP=[4.4723.618] -
最优控制律：
u ( t ) = − K x ( t ) = − [ 4.472 3.618 ] [ x 1 x 2 ] u(t) = -K x(t) = -[4.472 \; 3.618] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} u(t)=−Kx(t)=−[4.4723.618][x1x2]
仿真结果
在闭环控制下，系统状态 x ( t ) x(t) x(t) 会快速趋于零，同时控制输入 u ( t ) u(t) u(t) 保持较小，体现了状态偏差和控制能量的优化。
5. 实际应用
-
航天器姿态控制：
LQR 用于最优设计航天器的姿态调节控制器，确保姿态调整时能量最低。 -
机器人控制：
在机器人路径跟踪中，LQR 用于控制机器人的位置和速度。 -
车辆动力学控制：
在自动驾驶系统中，LQR 常用于轨迹跟踪问题，设计车辆的方向和速度控制。
总结
LQR 是一种功能强大且理论完善的最优控制方法，通过解决 Riccati 方程和设计反馈增益矩阵，能够为线性系统提供稳定且高效的控制策略。它的应用遍及多个工程领域，是现代控制理论的重要组成部分。