此博客停止更新迁移至SnailDove’s Blog，查看本文点击 此处 清华大学线性代数2笔记汇总：线性代数总结
笔记源自：清华大学公开课：线性代数2——第1讲：正定矩阵，涉及：正定矩阵、二次型、合同、惯性定理、Hessian

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引言

矩阵特征值的正负在求解微分方程和差分方程时，会影响解是否收敛，例如上图如果${\lambda }_i<0$那么$e^{{\lambda }_{i}t}$ 随着$t\to \infty ,e^{{\lambda }_{i}t}\to 0$

主子式

实对称矩阵A正定的充要条件

下列6项条件，满足任意一项即可判定实对称矩阵$A$为正定矩阵：

证明

$(1)\Rightarrow (2):$ 对实对称矩阵$A$，那么存在正交阵$Q$，使得$AQ=Q\Lambda \to A=Q\Lambda Q^T$，其中$\Lambda =diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$。于是对于任意非零向量$x$，有$x^{T}Ax=x^{T}Q\Lambda Q^{T}x=y^T\Lambda y={\lambda }_1{y_1}^2+...+{\lambda }_n{y_n}^2>0,y=Q^{T}x=(y_1,...,y_n)̸=\vec{0}$

$(2)\Rightarrow (1):$ 设$Ax=\lambda x(x̸=0)$ 则$0<x^{T}Ax=x^T\lambda x=\lambda ||x|{|}^2$，因此所有${\lambda }_i>0$。

$(2)\Rightarrow (3):$ 由于行列式等于矩阵特征值的乘积，故$(2)\Rightarrow (1)\Rightarrow (3)detA={\lambda }_1...{\lambda }_n>$