清华大学公开课线性代数2——第11讲：计算机图像

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笔记源自：清华大学公开课：线性代数2——第11讲：计算机图像

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引言

熟悉的三维空间的基本变换是：平移(translation)，伸缩(rescaling)，旋转(rotation)，投影(projection)和反射(reflection)。现在一个问题：平移变换只对于点才有意义，因为平移变换会改变点的坐标，可是普通向量没有位置概念，只有大小和方向。那如何区分点和向量呢？这时候引入齐次坐标系(homogeneous coordinate system)。

对于任意一个3维空间点 $p$ 的坐标均是参照（相对于）基点（原点）的坐标，可以表示成 $p=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3+ O=x\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ ，然而 $\vec{op}=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3$ 是不参照任何东西的，为了在线性代数中统一表示和区分，把 $p=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\quad \vec{op}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\0\end{pmatrix}$ ，这时三维空间中的一个点的齐次坐标是 $(x,y,z,1)$ 或 $\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}$ ，一个向量的齐次坐标是 $(x,y,z,0)$ 或 $\begin{pmatrix}x\\y\\z\\0\end{pmatrix}$ ，所以平移变换就不是 $R^3\rightarrow R^3$ 。

定义一个函数 $f: R^n \rightarrow R^N$ 是一个刚体运动(rigid motion)，如果 $\forall v,w\in R^n, ||f(v)-f(w)||=||v-w||$ ，即内部的各点间距离不变。定理 $R^3$ 上的刚体运动是平移，旋转和反射的合成。此时， $f(v)=Av+v_0$ ，其中 $A$ 是三阶正交阵。三阶正交阵的分类：设 $A$ 是一个三阶正交阵，则存在实可逆阵 $P$ ， $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&\pm 1\end{pmatrix}=B$ ，其中 $P=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ ，根据相似的性质： $|B|=\pm 1\rightarrow |A|=\pm 1$ ， $A$ 本身是一个正交阵，因此 $A^TA=I_3$ 。

若 $B_{33=1}, AP=PB\rightarrow A\alpha_3=\alpha_3$ 是一个旋转矩阵，旋转轴是 $\alpha_3$ 所在直线，旋转角度是沿 $\alpha_3$ 方向逆时针转 $\theta$ 角；若 $B_{33}=-1, AP=PB\rightarrow A\alpha_3=-\alpha_3$ 是 $A$ 将 $\alpha_3$ 变为 $-\alpha_3$ ，将 $\alpha_1,\alpha_2$ 所在平面逆时针旋转 $\theta$ 角，此时 A <script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">A</script>的作用就是镜面反射和旋转，这里镜面指的是x-y平面。