反向传播的工作过程以及公式推导

作者：陈唯源

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一般都是用链式法则解释
比如如下的神经网络

前向传播

对于节点来说，的净输入 $net_{h_1}$ 如下：
$net_{h_1}=w_1\times i_1+w_2\times i_2+b_1\times 1$
接着对 $net_{h_1}$ 做一个sigmoid函数得到节点的输出：
$out_{h_1}=\frac{1}{1+e^{-net_{h_1}}}$
类似的，我们能得到节点、、的输出 $out_{h_2}$ 、 $out_{o_1}$ 、 $out_{o_2}$ 。

误差

得到结果后，整个神经网络的输出误差可以表示为：
$E_{total}=\sum\frac{1}{2}(target-output)^2$
其中就是刚刚通过前向传播算出来的 $out_{o_1}$ 、 $out_{o_2}$ ；是节点、的目标值。 $E_{total}$ 用来衡量二者的误差。
这个 $E_{total}$ 也可以认为是cost function，不过这里省略了防止overfit的regularization term（ $\sum{w_i^2}$ ）
展开得到
$E_{total}=E{o_1}+E{o_2}=\frac{1}{2}(target_{o_1}-out_{o_1})^2+\frac{1}{2}(target_{o_2}-out_{o_2})^2$

后向传播

对输出层的 w_5

通过梯度下降调整，需要求 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$ ，由链式法则：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}\frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {w_5}}$ ，
如下图所示：

$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}=\frac{\partial}{\partial {out_{o_1}}}(\frac{1}{2}(target_{o_1}-out_{o_1})^2+\frac{1}{2}(target_{o_2}-out_{o_2})^2)=-(target_{o_1}-out_{o_1})$
$\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}=\frac{\partial }{\partial {net_{o_1}}}\frac{1}{1+e^{-net_{o_1}}}=out_{o_1}(1-out_{o_1})$
$\frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {w_5}}=\frac{\partial}{\partial {w_5}}(w_5\times out_{h_1}+w_6\times out_{h_2}+b_2\times 1)=out_{h_1}$
以上3个相乘得到梯度 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$ ，之后就可以用这个梯度训练了：
$w_5^+=w_5-\eta \frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$
很多教材比如Stanford的课程，会把中间结果 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {net_{o_1}}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}$ 记做 $\delta_{o_1}$ ，表示这个节点对最终的误差需要负多少责任。。所以有 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}=\delta_{o_1}out_{h_1}$ 。

对隐藏层的

通过梯度下降调整，需要求 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}$ ，由链式法则：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}$ ，
如下图所示：

参数影响了 $net_{h_1}$ ，进而影响了 $out_{h_1}$ ，之后又影响到 $E_{o_1}$ 、 $E_{o_2}$ 。
求解每个部分：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}=\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}+\frac{\partial {E_{o_2}}}{\partial {out_{h_1}}}$ ，
其中 $\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}\times \frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}\times \frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}\times \frac{\partial}{\partial {out_{h_1}}}(w_5\times out_{h_1}+w_6\times out_{h_2}+b_2\times 1)=\delta_{o_1}w_5$ ，这里 $\delta_{o_1}$ 之前计算过。
$\frac{\partial {E_{o_2}}}{\partial {out_{h_1}}}$ 的计算也类似，所以得到
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7$ 。
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}$ 的链式中其他两项如下：
$\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}=out_{h_1}(1-out_{h_1})$ ，
$\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial }{\partial {w_1}}(w_1\times i_1+w_2\times i_2+b_1\times 1)=i_1$
相乘得到
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}=(\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7)\times out_{h_1}(1-out_{h_1}) \times i_1$
得到梯度后，就可以对迭代了：
$w_1^+=w_1-\eta \frac{\partial{E_{total}}}{\partial{w_1}}$ 。
在前一个式子里同样可以对 $\delta_{h_1}$ 进行定义， $\delta_{h_1}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}=(\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7)\times out_{h_1}(1-out_{h_1}) =(\sum_o \delta_ow_{ho})\times out_{h_1}(1-out_{h_1})$ ，所以整个梯度可以写成 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\delta_{h_1}\times i_1$

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上述 $\delta$ 就是教程Unsupervised Feature Learning and Deep Learning Tutorial 中第三步计算的由来。。

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所谓的后向传播，其实就是『将来在宣传传播上出了偏差，你们要负责的！』，每一个节点负责的量用 $\delta$ 表示，那么，隐藏节点需要负责的量，就由输出节点负责的量一层层往前传导。

参考：
【1】 A Step by Step Backpropagation Example
【2】 Unsupervised Feature Learning and Deep Learning Tutorial

编辑于 2016-04-02

反向传播的工作过程以及公式推导

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