动态规划
动态规划–0-1背包问题
问题描述：
假设现有容量m kg的背包，另外有 i 个物品，重量分别为w[1] w[2]…w[i] (kg)，价值分别为p[1]、p[2]…p[i] (元)，将哪些物品放入背包可以使得背包的总价值最大？最大价值是多少？
(示例一：m=10 i=3重量和价值分别为3kg-4元，4kg-5元 ，5kg-6元)
穷举法（把所有情况列出来，比较得到总价值最大的情况）
- 如果容景增大，物品增多，这个方法的运行时间将成指数增长
- 每一个物品都有两种状态（放与不放，0和1状态），所以如果有n个物品，就有2的n次方种情况
internal class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int m;
int[] w = { 0, 3, 4, 5 };
int[] p = { 0, 4, 5, 6 };
Console.WriteLine(Exhaustivity(10,w,p));
Console.WriteLine(Exhaustivity(3,w,p));
Console.WriteLine(Exhaustivity(4,w,p));
Console.WriteLine(Exhaustivity(5,w,p));
Console.WriteLine(Exhaustivity(7,w,p));
}
public static int Exhaustivity(int m, int[] w,int[] p)
{
int i = w.Length - 1;//物品的个数
int maxPrice = 0;
for(int j = 0; j < Math.Pow(2,m); j++)
{
//取得j 上某一个位的二进制值
int weightTotal = 0;
int priceTotal = 0;
for(int number = 1; number <= i; number++)
{
int result = Get2(j, number);
if (result == 1)
{
weightTotal += w[number];
priceTotal += p[number];
}
}
if(weightTotal <= m && priceTotal > maxPrice)
{
maxPrice = priceTotal;
}
}
return maxPrice;
}
public static int Get2(int j, int number)
{
int A = j;
int B = (int)Math.Pow(2,number - 1);
int result = A & B;
if(result == 0)
{
return 0;
}
return 1;
}
}
动态规划算法
我们要求得 i 个物体放入容量为m(kg)的背包的最大价值（记为c[i,m])。在选择物品的时候，对于每种物品只有两种选择，即装入背包或不装入背包。某种物品不能装入多次（可以认为每种物品只有一个），因此该问题被称为0-1背包问题
对于c[i,m]有下面几种情况：
- c[i,0]=c[0,m]=0
- 当w[i]>m时 ，c[i,m]=c[i-1,m] (最后一个物品的重量大于容量，直接舍弃不用)
- 当w[i]<=m的时候有两种情况，一种是放入i,一种是不放入i
- 不放入i，c[i,m]=c[i-1,m]
- 放入i ，c[i,m]=c[i-1,m-w[i]+p[i]
- c[i,m]=max(不放入i,放入i)
01背包问题递归实现（不带备忘录的自顶向下法）
internal class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int m;
int[] w = { 0, 3, 4, 5 };
int[] p = { 0, 4, 5, 6 };
Console.WriteLine(UpDown(10,3,w,p));
Console.WriteLine(UpDown(3,3,w,p));
Console.WriteLine(UpDown(4,3,w,p));
Console.WriteLine(UpDown(5,3,w,p));
Console.WriteLine(UpDown(7,3,w,p));
}
//m是背包容量
//i是物品个数
//wp是物品的重量和价值的数组
public static int UpDown(int m, int i,int[] w, int[] p ) //返回值是m可以存储的最大价值
{
if (i == 0||m== 0)
{
return 0;
}
if (w[i] > m)
{
return UpDown(m,i-1,w, p );
}
else
{
int maxValue1 = UpDown(m - w[i], i - 1, w, p ) + p[i];
int maxValue2 = UpDown(m, i - 1, w, p );
if (maxValue1 > maxValue2)
{
return maxValue1;
}
return maxValue2;
}
}
}
01背包问题-递归实现（带备忘的自顶向下法）
internal class Program
{
public static int[,] result = new int[11, 4];
static void Main(string[] args)
{
int m;
int[] w = { 0, 3, 4, 5 };
int[] p = { 0, 4, 5, 6 };
Console.WriteLine(UpDown(10, 3, w, p));
Console.WriteLine(UpDown(3, 3, w, p));
Console.WriteLine(UpDown(4, 3, w, p));
Console.WriteLine(UpDown(5, 3, w, p));
Console.WriteLine(UpDown(7, 3, w, p));
}
//m是背包容量
//i是物品个数
//wp是物品的重量和价值的数组
public static int UpDown(int m, int i, int[] w, int[] p) //返回值是m可以存储的最大价值
{
if (i == 0 || m == 0)
{
return 0;
}
if (result[m,i]!=0)
{
return result[m,i];
}
if (w[i] > m)
{
result[m,i] = UpDown(m, i - 1, w, p);
return result[m,i];
}
else
{
int maxValue1 = UpDown(m - w[i], i - 1, w, p) + p[i];
int maxValue2 = UpDown(m, i - 1, w, p);
if (maxValue1 > maxValue2)
{
result[m, i] = maxValue1;
}
else
{
result[m,i] = maxValue2;
}
return result[m,i];
}
}
}
01背包问题（自底向上法）
internal class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int m;
int[] w = { 0, 3, 4, 5 };
int[] p = { 0, 4, 5, 6 };
Console.WriteLine(BottomUp(10,3, w, p));
Console.WriteLine(BottomUp(3, 3, w, p));
Console.WriteLine(BottomUp(4, 3, w, p));
Console.WriteLine(BottomUp(5, 3, w, p));
Console.WriteLine(BottomUp(7, 3, w, p));
}
public static int[,] result = new int[11, 4];
public static int BottomUp(int m,int i, int[] w, int[] p)
{
if (result[m,i] != 0)return result[m,i];
for (int tempM = 1; tempM < m+1; tempM++)
{
for(int tempI = 1; tempI <i+1;tempI++)
{
if (result[tempM,tempI] != 0 )continue;
if (w[tempI] >tempM)
{
result[tempM, tempI] = result[tempM, tempI - 1];
}
else
{
int maxValue1 = result[tempM - w[tempI], tempI-1]+p[tempI];
int maxValue2 = result[tempM, tempI - 1];
if (maxValue1 > maxValue2)
{
result[tempM, tempI] = maxValue1;
}
else
{
result[tempM,tempI] = maxValue2;
}
}
}
}
return result[m,i];
}
}