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大话数据结构---（六）图的深度优先遍历和广度优先遍历

1.深度优先遍历

深度优先遍历（Depth_First_Search）,也有称为深度优先搜索，简称DFS。话不多说，直接上个实例，它的原理也就大致清楚了。
我们对图1进行深度优先遍历。 在这里插入图片描述深度优先遍历的过程如下：
在这里插入图片描述这里先和大家回顾一下遍历的概念，在不重复经过某点的情况下，即每个点只能经过一次，依次走完所有点。就好比，你回老家给亲戚们拜年，他们住址都相隔不远，这时你规划一条路线，给你所有亲戚拜个年。好，回归正题，图2看不懂没关系，一共是八个步骤，每个步骤我都会详细和大家解释清楚，

  • 第一步：我们假设从A点开始遍历，当然你也可以是图中的任意点，这时从A点去往下一个点的方向有两个，B点，F点，这里我们前往B点（也可以前往F点）。
  • 第二步：到达B点后，这时从B点去往下一个点的方向有四个,A点、C点、I点、G点。因为A点已经遍历过，所以排除A点，还剩下C点、I点、G点，这里我们前往C点（也可以前往I点或者G点）。
  • 第三步：到达C点后，这时从C点去往下一个点的方向有三个，B点，I点，D点。因为B点已经遍历过，所以排除B点，还剩I点、D点，这里我们前往D点（也可以前往I点）。
  • 第四步：到达D点后，这时从D点去往下一个点的方向有五个，C点，I点，G点，H点，E点。因为C点已经遍历过，所以排除C点，还剩I点，G点，H点，E点，这里我们前往E点（也可以前往H点、G点或者I点）。
  • 第五步：到达E点后，这时从E点去往下一个点的方向有三个，D点，H点，F点。因为D点已经遍历过，所以排除D点，还剩H点、F点，这里我们前往F点（也可以前往H点）。
  • 第六步：到达F点后，这时从F点去往下一个点的方向有三个，A点、G点、E点。因为A点，E点已经遍历过，所以排除A点、E点，这里我们只能前往G点。
  • 第七步：到达G点，这时从G点去往下一个点的方向有四个，B点、F点、D点、H点。因为B点、F点、D点已经遍历过，所以排除B点、F点、D点。这里我们只能前往H点。
  • 第八步：遍历结束。
    如果理解了深度优先遍历的过程，不难发现，它其实就是个递归过程。它从图中某个顶点V出发，访问此顶点，然后从V的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和V有路径相同的顶点都被访问到。事实上，我们这里讲到的是连通图，对于非连通图，只需要对他的连通分量分别进行深度优先遍历，即在先前一个顶点进行一次深度优先遍历后，若图中尚有顶点未被访问，则选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
    如果我们用的是邻接矩阵的方式，则代码如下：
typedef int Boolean;//Boolean是布尔类型，其值是TRUE或FALSE
Boolean visited[MAX];//访问标志的数组
//邻接矩阵的深度优先地柜算法
void DFS(MGraph G,int i)
{
 int j;
 visited[i]=TRUE;
 cout<<G.vexs[i];//打印顶点，也可以其他操作
 for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
 {
   if(G.arc[i][j]==1&&!visited[j])
     DFS(G,j);
 }
}
//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(MGraph G)
{
  int i;
  for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
      visited[i]=FALSE;//初始化所有顶点状态都是未访问过状态
  for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
     if(!visited[i])//对未访问过的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
        DFS(G,I);
}

如果图结构是邻接表结构，其DFSTraverse函数的代码是几乎相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有所不同，代码如下。

typedef int Boolean;//Boolean是布尔类型，其值是TRUE或FALSE
Boolean visited[100];
//邻接表的深度优先递归算法
void DFS(GraphAdjList GL, int i) {
	EdgeNode *p;
	visited[i] = 1;
	cout << GL.adjList[i].data << " ";//打印顶点，也可以其他操作
	p = GL.adjList[i].firstedge;
	while (p) {
		if (!visited[p->adjvex])
			DFS(GL, p->adjvex);//对未访问的邻接顶点递归调用
		p = p->next;
	}
}
//邻接表的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphAdjList GL) {
	int i;
	for (i = 0; i < GL.numVertexes; i++) {
		visited[i] = 0;//初始所有顶点状态都是未访问过状态
	}
	for (i = 0; i < GL.numVertexes; i++) {
		if (!visited[i])//对未访问过的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
			DFS(GL, i);
	}
}

对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找每个顶点需要访问矩阵中的所有元素，因此都需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构是，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多变少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。这里给出用邻接表存储图中数据，并遍历输出的实例，完整代码如下。

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXVEX 100
typedef char VertextType;//顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType;//边上的权值类型应由用户定义
typedef struct EdgeNode {//边表结点
	int adjvex;//邻接点域，存储该顶点对应的下标
	EdgeType weight;//用于存储权值，对于非网图可以不需要
	struct EdgeNode *next;//链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct VertextNode {//顶点表结点
	VertextType data;//顶点域，存储顶点信息
	EdgeNode *firstedge;//边表头指针
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];
typedef struct {
	AdjList adjList;
	int numVertexes, numEdges;//图中当前顶点数和边数
}GraphAdjList;
//建立图的邻接表结构
void CreateALGraph(GraphAdjList *G) {
	int i, j, k;
	EdgeNode *e;
	cout << "输入顶点数和边数：" << endl;
	cin >> G->numVertexes >> G->numEdges;//输入顶点数和边数
	cout << "输入顶点信息" << endl;
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
		cin >> G->adjList[i].data;//输入顶点信息
		G->adjList[i].firstedge = NULL;//将边表置为空表
	}
	for (k = 0; k < G->numEdges; k++) {//建立边表
		cout << "输入边(vi,vj)上的顶点序号：" << endl;
		cin >> i >> j;//输入边(vi,vj)上的顶点序号
		e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));//向内存申请空间，生成边表结点
		e->adjvex = j;//邻接序号为j
		e->next = G->adjList[i].firstedge;//将e指针指向当前顶点指向的结点
		G->adjList[i].firstedge = e;//将当前顶点的指针指向e--------头插法
		e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));//向内存申请空间，生成边表结点
		e->adjvex = i;//邻接序号为i
		e->next = G->adjList[j].firstedge;//将e指针指向当前顶点指向的结点
		G->adjList[j].firstedge = e;//将当前顶点的指针指向e
	}
}
typedef int Boolean;//Boolean是布尔类型，其值是TRUE或FALSE
Boolean visited[100];
//邻接表的深度优先递归算法
void DFS(GraphAdjList GL, int i) {
	EdgeNode *p;
	visited[i] = 1;
	cout << GL.adjList[i].data << " ";//打印顶点，也可以其他操作
	p = GL.adjList[i].firstedge;
	while (p) {
		if (!visited[p->adjvex])
			DFS(GL, p->adjvex);//对未访问的邻接顶点递归调用
		p = p->next;
	}
}
//邻接表的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphAdjList GL) {
	int i;
	for (i = 0; i < GL.numVertexes; i++) {
		visited[i] = 0;//初始所有顶点状态都是未访问过状态
	}
	for (i = 0; i < GL.numVertexes; i++) {
		if (!visited[i])//对未访问过的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
			DFS(GL, i);
	}
}
int main() {
	GraphAdjList *GL = (GraphAdjList*)malloc(sizeof(GraphAdjList));
	CreateALGraph(GL);
	DFSTraverse(*GL);
}

运行实例如下：
在这里插入图片描述

2.广度优先遍历

广度优先遍历（Breadth_First_Search）,又称为广度优先搜索，简称BFS。我们也是先通过一个实例，演示过程来加深理解。
在这里插入图片描述广度优先遍历的过程如下：
在这里插入图片描述同样，这里会和大家解释广度优先遍历的每一步过程。

  • 第一步：假设从A点开始遍历，当然也可以从图中任意一点开始遍历，A点入队列。
  • 第二步：A点出队列，将与A点相邻的点（B点、F点）入队列，入队列的顺序无关紧要。
  • 第三步：B点出队列，将与B点相邻的点（C点、I点、G点）入队列，A点虽然是B的相邻点，但A点已经遍历过，所以不再入队列，下列叙述同理。
  • 第四步：F点出队列，将与F点相邻的点（G点、E点）入队列。
  • 第五步：C点出队列，将与C点相邻的点（D点）入队列。
  • 第六步：I点出队列，因为与I点相邻的点（B点、C点、D点）都已入过队列，所以这里无顶点入队列。
  • 第七步：G点出队列，将与G点相邻的H点入队列。
  • 第八步：E点出队列，无顶点入队列。
  • 第九步：D点出队列，无顶点入队列。
  • 第十步：H点出队列，遍历结束。
    有了这个讲解，我们来看代码就非常容易了，以下是邻接矩阵结构的广度优先遍历算法。
void BFSTraverse(MGraph G)
{
  int i,j;
  Queue Q;
  for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
     visited[i]=0;
  InitQueue(&Q);//初始化一辅助用的队列
  for(i=0;i<G.numVertexes;i++)//对每一个顶点做循环，若是连通图，只会进行一次
  {
     if(!visited[i])
     {
       visited[i]=1;
       cout<<G.vexs[i];//打印顶点，也可以其他操作
       EnQueue(&Q,i);
       while(!QueueEmpty(Q))//若当前队列不为空
       {
        DeQueue(&Q,i);//将队中元素出队列，赋值给i
        for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
        {
          //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
          if(G.arc[i][j]==1&&!visited[j])
          {
            visited[j]=1;//将找到的此顶点标记为已访问
            cout<<G.vexs[j];//打印顶点
            EnQueue(&Q,j);//将找到的此顶点入队列
          }
        }
       }
     }
  }
}

对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大，下面给出完整的代码示例。

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXVEX 100
typedef char VertextType;//顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType;//边上的权值类型应由用户定义
typedef struct EdgeNode {//边表结点
	int adjvex;//邻接点域，存储该顶点对应的下标
	EdgeType weight;//用于存储权值，对于非网图可以不需要
	struct EdgeNode *next;//链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct VertextNode {//顶点表结点
	VertextType data;//顶点域，存储顶点信息
	EdgeNode *firstedge;//边表头指针
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];
typedef struct {
	AdjList adjList;
	int numVertexes, numEdges;//图中当前顶点数和边数
}GraphAdjList;
//建立图的邻接表结构
void CreateALGraph(GraphAdjList *G) {
	int i, j, k;
	EdgeNode *e;
	cout << "输入顶点数和边数：" << endl;
	cin >> G->numVertexes >> G->numEdges;//输入顶点数和边数
	cout << "输入顶点信息" << endl;
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
		cin >> G->adjList[i].data;//输入顶点信息
		G->adjList[i].firstedge = NULL;//将边表置为空表
	}
	for (k = 0; k < G->numEdges; k++) {//建立边表
		cout << "输入边(vi,vj)上的顶点序号：" << endl;
		cin >> i >> j;//输入边(vi,vj)上的顶点序号
		e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));//向内存申请空间，生成边表结点
		e->adjvex = j;//邻接序号为j
		e->next = G->adjList[i].firstedge;//将e指针指向当前顶点指向的结点
		G->adjList[i].firstedge = e;//将当前顶点的指针指向e--------头插法
		e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));//向内存申请空间，生成边表结点
		e->adjvex = i;//邻接序号为i
		e->next = G->adjList[j].firstedge;//将e指针指向当前顶点指向的结点
		G->adjList[j].firstedge = e;//将当前顶点的指针指向e
	}
}
typedef int Boolean;//Boolean是布尔类型，其值是TRUE或FALSE
Boolean visited[100];
//邻接表的广度优先递归算法
void BFSTraverse(GraphAdjList GL) {
	int i;
	EdgeNode *p;
	queue<int> Q;
	for (i = 0; i < GL.numVertexes; i++)
		visited[i] = 0;
	for (i = 0; i < GL.numVertexes; i++) {
		if (!visited[i]) {
			visited[i] = 1;
			cout << GL.adjList[i].data<<" ";//打印顶点，也可以是其他操作
			Q.push(i);
			while (!Q.empty()) {
				i = Q.front();
				Q.pop();
				p = GL.adjList[i].firstedge;//找到当前顶点边表链表头指针
				while (p) {
					if (!visited[p->adjvex])//若此顶点未被访问
					{
						visited[p->adjvex] = 1;
						cout << GL.adjList[p->adjvex].data<<" ";
						Q.push(p->adjvex);//将此顶点入队列
					}
					p = p->next;//指针指向下一个邻接点
				}
			}
		}
	}
}
int main() {
	GraphAdjList *GL = (GraphAdjList*)malloc(sizeof(GraphAdjList));
	CreateALGraph(GL);
	BFSTraverse(*GL);
}

运行实例如下：
在这里插入图片描述

3.总结

对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，你会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序不同。如果说图的深度优先遍历类似树的前序遍历，那么图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是视不同的情况选择不同的算法。

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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