《庆余年算法番外篇》：范闲通过贝叶斯推理找到太子火烧史家镇的证据

剧情背景

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在《庆余年2》中史家镇是李云睿和二皇子向北齐走私的重要通道，太子派人把史家镇烧成灰烬，最后嫁祸于二皇子，加大范闲对二皇子的恨意，坐收渔翁之利，意图销毁所有证据。范闲接到任务，需要在被毁的镇子里找到蛛丝马迹，通过贝叶斯推理分析这些线索，找出太子犯罪的确凿证据。
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场景描述

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范闲到达被火烧过的镇子，开始寻找可能的线索。他知道凶手非常狡猾，留下的线索非常隐蔽。范闲决定利用贝叶斯推理来整理和分析这些线索，以找到关键证据。

数据收集与预处理

范闲在镇上收集了一系列线索，包括：

目击者的证词：一些幸存者描述了火灾发生的情况。
物理证据：镇上残留的烧焦物、脚印等。
时间线索：火灾发生的具体时间。

范闲将这些线索整理成一个大表格，每一行代表一个线索。

使用贝叶斯推理分析线索

贝叶斯推理是一种统计方法，通过已知的证据来更新对某个事件的概率估计。范闲可以利用贝叶斯推理来分析所有线索，找出最可能的证据。

贝叶斯定理公式

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( P(A|B) )：在证据B出现的情况下，事件A发生的概率（后验概率）。
( P(B|A) )：在事件A发生的情况下，证据B出现的概率（似然）。
( P(A) )：事件A发生的先验概率。
( P(B) )：证据B出现的概率。

先验概率

在京城能防火烧镇的人猜测只有太子和二皇子，所以设置

太子有罪的初始概率 𝑃(𝐴) 为0.5
二皇子有罪的初始概率 𝑃(𝐴) 为0.5

确定线索的似然概率和总体概率

数据来源

为了确定这些线索的似然概率，范闲参考类似情况下的历史数据。例如，在100起火灾案件中，如果80起案件中都发现了相关人员的存在，那么这个线索的似然概率就是0.8。具体步骤如下：

1. 线索1：在镇上发现太子的手下的似然概率

假设在过去的100起类似案件中，90起案件中都有罪犯的手下出现在现场，那么线索1的似然概率 ( P(B1|A) ) 可以被估计为0.9。这表示如果太子确实是罪犯，那么镇上发现他的手下的可能性很高。

2. 线索2：目击者看到可疑火光的似然概率

假设在过去的100起火灾案件中，70起案件中目击者报告看到可疑的火光，那么线索2的似然概率 ( P(B2|A) ) 可以被估计为0.7。如果太子是罪犯，那么目击者看到可疑火光的可能性也较高。

3. 线索3：发现密信与太子府有关联的似然概率

假设在过去的100起类似案件中，80起案件中发现了类似的密信与罪犯来往，那么线索3的似然概率 ( P(B3|A) ) 可以被估计为0.8。如果太子是罪犯，那么发现密信的可能性也较高。

确定线索的总体概率

这些概率基于通常在事故现场找到这些线索的概率假设：

线索1的总体概率 ( P(B1) ) 是 0.2。通常在事故现场发现相关人员的概率。
线索2的总体概率 ( P(B2) ) 是 0.3。通常在事故现场目击者看到可疑火光的概率。
线索3的总体概率 ( P(B3) ) 是 0.1。通常在事故现场发现密信的概率。

贝叶斯推理计算

# 先验概率：太子和二皇子有罪的初始概率
P_A = 0.5
P_B = 0.5

# 线索的似然概率
P_B1_given_A = 0.9  # 线索1：太子的手下在场
P_B2_given_A = 0.7  # 线索2：目击者看到火光
P_B3_given_A = 0.8  # 线索3：发现密信

# 线索的总体概率
P_B1 = 0.2
P_B2 = 0.3
P_B3 = 0.1

# 使用贝叶斯定理更新后验概率
def bayesian_inference(P_prior, P_likelihood, P_evidence):
    return (P_likelihood * P_prior) / P_evidence

# 计算每个线索对太子有罪的支持
P_A_given_B1 = bayesian_inference(P_A, P_B1_given_A, P_B1)
P_A_given_B2 = bayesian_inference(P_A, P_B2_given_A, P_B2)
P_A_given_B3 = bayesian_inference(P_A, P_B3_given_A, P_B3)

# 综合所有线索
P_A_combined = P_A_given_B1 * P_A_given_B2 * P_A_given_B3
P_A_final_normalized = P_A_combined / (P_A_combined + (1 - P_A_combined))

# 计算二皇子有罪的概率（假设没有发现线索）
P_B_given_B1 = bayesian_inference(P_B, 1 - P_B1_given_A, P_B1)
P_B_given_B2 = bayesian_inference(P_B, 1 - P_B2_given_A, P_B2)
P_B_given_B3 = bayesian_inference(P_B, 1 - P_B3_given_A, P_B3)

P_B_combined = P_B_given_B1 * P_B_given_B2 * P_B_given_B3
P_B_final_normalized = P_B_combined / (P_B_combined + (1 - P_B_combined))

print(f"综合所有线索后，太子有罪的概率: {P_A_final_normalized:.2f}")
print(f"综合所有线索后，二皇子有罪的概率: {P_B_final_normalized:.2f}")