1. 首先什么是自由度

自由度，英语名Degrees of freedom，简写DOF。在学习SLAM的过程中多次看到自由度的概念，网上看有关于自由度的解释都过于抽象难以理解。先给出自由度比较好理解的定义：

1. 自由度是n个变量在某个（些）约束下，能够自由变化的最多变量个数m为该约束下的自由度
2. 自由度是用约束式求解矩阵所需要的最少个数。

记住这句话，再去理解各种矩阵自由度计算的例子。

先看看维基百科的解释：数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑屏幕到厨房的位移能够用三维向量$a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与这些向量的坐标平方和，以及卡方分布中的参数有所关联。
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这样的语言看着有些抽象。那为什么不用$a\stackrel{⟶}{o_1{o}_2}$（假设$\stackrel{⟶}{o_1{o}_2}$为电脑屏幕到厨房方向的单位向量）来表示呢？ 在这个例子里，位移是三维空间的位移，在三维空间位移这个约束下，最少需要三个方向向量（非线性相关的一组基）的多项式和才能表示三维空间中所有的位移，而电脑屏幕到厨房是特例，只用$\stackrel{⟶}{o_1{o}_2}$不能表示三维空间中的其他位移。
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再看例子：

• 若存在2个变量a和b，而a+b=6，那么他的自由度为1。因为其实只有a才能真正的自由变化，b会被a选值的不同所限制。在这个例子中a+b=6就是约束，可以自由变化的变量最多个数为1。所以自由度为1；
• 对于一个二维旋转矩阵，$M_{rot2d}=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$，虽然这个$2\times 2$的矩阵有四个变量，但是一旦其中的一个值确定了，其他三个值就确定了。比如说当知道$(0,0)$位置下的$cos\theta =1$，那么$sin\theta 肯定=0$，不会等于其他数字。所以在二维旋转矩阵这个约束下，可以自由变化的最多变量个数为1，矩阵自由度为1。用几何的方式来思考也很好理解，在一个二维平面下的旋转，只有一个变量就是旋转角度$\theta$值。

关键词：约束、自由变化

2. 什么是矩阵的自由度

可以依据上文对自由度的解释应用到矩阵中。比如一个3*3的矩阵，具有9个元素，那么它的自由度最高就是9。但是9个元素可能由几个变量通过一定方式组合而成，比如旋转矩阵，只有$\alpha ,\beta ,\gamma$三个旋转变量，通过三角函数组成了旋转矩阵，自由度只有3而不是9。再比如本质矩阵自由度为5、基础矩阵自由度为7、单应矩阵自由度为8

另外，以下是一个Stack Overflow上的回答，以下是翻译，也可以增加对矩阵自由度的理解：（英文原文）

有几种方式来思考矩阵的自由度：

1. 考虑一个m*n的矩阵。这个矩阵有mn个元素/变量。我们可以改变mn个数值来构造处mn个互相不同的矩阵，所以它有mn个自由度。
2. 如果我们有一个上三角矩阵，维度是m*m，自由度等于多少？我们知道在这个矩阵里很多值都是0，实际上只有$m+(m-1)+...+2+1$个非0元素/变量，所以这个值就是上三角矩阵的自由度。
3. 如果我们有一个2 * 2的旋转矩阵，自由度等于多少？这对矩阵中可能的值施加了巨大的限制。确实，一旦其中一个值确定了之后，其他的所有值都被确定了。这个旋转矩阵只有一个自由度。从几何的角度很容易看出来：一个2 * 2的旋转矩阵只能旋转一个角度，所以1就是它的自由度。
4. 如果我们“equivalence classes”即“等价类”呢？如果我们知道任意矩阵的所有缩放都是相等的呢？我们还剩多少个自由度？对于任意矩阵，当位置$(1,1)$上的元素非0，我们就可以对矩阵的所有元素除以这个元素，这时$(1,1)$上的元素就等于1。现在考虑有两个矩阵$A$和$B=2A$，当我们缩放这两个矩阵使得它们的第一个元素为1，我们会发现这两个矩阵是等价的。因此，我们消除了一个自由度。这就是单应（矩阵）的例子。所以，对于一个$3\times 3$的单应矩阵，只有8个自由度。这些自由度也可以用几何的方式来解释。

最后再回到我对自由度的理解：

自由度是n个变量在某个（些）约束下，能够自由变化的最多变量个数m为该约束下的自由度