有的是洛谷老师布置的题目，有的是 CF 随机跳题。

并不一定是顺着排的。但是更新 $50$ 题之后会根据这个博客的顺序列一个新的题单。欢迎点赞（）

1. P1040 [NOIP2003 提高组] 加分二叉树

题意很明确。

不难发现这个分数的形式和数据范围很像区间啥的，那么考虑区间 DP。状态就好定义，$f_{i,j}$ 表示前序遍历里 $[l,r]$ 这段能得到的最大得分。转移方程也很显然，根据题目来就好了：

$$f_{i,j}=\underset{k=i}{\overset{j}{\max }}{f}_{i,k-1}\times f_{k+1,j}+d_k$$

最初状态为 $f_{i,i}=d_i$，最终答案显然为 $f_{1,n}$。

注意一个问题：由于这里 $k$ 的范围是 $i$ 到 $j$，那么可能会出现类似 $f_{i,i-1}$ 或 $f_{i+1,i}$ 的东西，而这东西默认是 $0$，那么此时我们应当将这些东西当作题目中的“空结点”来算，也就是 $f_{i,i-1}=f_{i+1,i}=1$。这样就可以算出最大值了。

前序遍历也好算：对于一个区间 $[l,r]$，记 $m{x}_{l,r}$ 为在对 $f_{l,r}$ 找最大值的时候找到最大值对应的 $k$。那么最后从 $m{x}_{1,n}$ 一层层递归回去，就能得到前序遍历了。时间复杂度 $O(n^3)$，可以通过。

int n; cin >> n;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> d[i], f[i][i] = d[i];
for(int i = 1;i <= n;i++) f[i][i-1] = 1, f[i][i+1] = 1;
for(int len = 2;len <= n;len++) {
   
  for(int i = 1;i + len - 1 <= n;i++) {
   
    int j = i + len - 1; for(int k = i;k <= j;k++) {
     
      if((f[i][k-1] * f[k+1][j]) > (f[i][j] - d[k])) {
   
        f[i][j] = (f[i][k-1] * f[k+1][j]) + d[k]; mx[i][j] = k;
      }
    }
  }
}

2. P2015 二叉苹果树

大蛇题。有点像背包？

这是一个树形的结构。（废话题目里都写了

那么考虑树形 dp，由于要求保留 $Q$ 根树枝，求最大苹果数，那么不难想到用 $f_{i,j}$ 表示在以 $i$ 为根的子树中保留 $j$ 根树枝所能得到的最大苹果数。接下来枚举左子树保留几根树枝即可。这里假设保留 $k$ 根。

• $k=0$，此时左子树啥都不保留。

  显然有转移方程 $f_{i,j}=f_{{\mathrm{rson}}_i}$