Ch11. 曲线积分与曲面积分

零、代入法：线面积分可代，重积分(二重、三重)不可代入

一、曲线积分

(一) 第一类曲线积分：对弧长的曲线积分

1.定义

2.性质

第一类曲线积分，与路径方向无关：${\oint }_{L(AB)}f(x,y)ds={\oint }_{L(BA)}f(x,y)ds$

3.应用：弧质量、曲线弧长

①弧长质量：$m={\oint }_L\rho (x,y)ds$
②对1的第一类曲线积分，就是曲线的弧长：${\oint }_{L}1ds=L$

4.计算

(1)ds弧微分公式

①平面一类线

弧微分公式：$ds=\{\begin{array}{rlr}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx& & 一元函数\\ \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt& & 参数方程\\ \sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}d\theta & & 极坐标\end{array}$

②空间一类线：化参数方程

设空间曲线L的方程为：$x=x(t),y=y(t),z=z(t)(\alpha \le t\le \beta )$

$ds=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$

则${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\cdot \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$

(2)对称性：奇偶对称性(偶倍奇零)、轮换对称性

1.奇偶对称性
①若积分曲线关于y轴对称：x的奇函数则为0，x的偶函数则为2倍
②若积分曲线关于x轴对称：y的奇函数则为0，y的偶函数则为2倍

2.轮换对称性
若积分曲线关于y=x对称，则${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{L}f(y,x)ds$

例题1：09年11.   定积分的计算：凑微分

分析：

答案：$\frac{13}{6}$

例题2：11年9.

分析：$s={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+ta{n}^{2}x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}se{c}^{2}x\mathrm{d}x=\ln |secx+tanx|{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\ln (1+\sqrt{2})$

答案：$\ln (1+\sqrt{2})$

例题3：24李林六(二)11.   一类线 + 变上限积分求导

分析：

答案：$\frac{2}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$

例题4：18年12.   空间一类线：轮换对称性

分析：
     

答案：$-\frac{\pi }{3}$

例题5：24李林六(二) 14.   空间一类线：化参数方程

分析：

答案：$\pi$

(二) 第二类曲线积分：对坐标的曲线积分 ${\int }_{L}dx+dy+dz$

1.定义

2.性质

3.几何意义：变力沿曲线所作的功

$\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$

例题1：24李林六(五)13.

分析：
根据$\mathbf{AB}$写出直线的参数式方程。将空间二类线积分化为对t的定积分。
根据A到B $x$ 或 $y$ 或 $z$ 的变化范围、与t的关系，确定 $t$ 的变化范围

答案：5

4.两类曲线积分的联系

$\cos \alpha ds=dx，\cos \beta ds=dy$，即 ${\oint }_L(Pcos\alpha +Qcos\beta )ds={\oint }_{L}Pdx+Qdy$

$(\cos \alpha ,\cos \beta )$：切线切向量的方向余弦

注意，α、β指曲线在点(x,y)处切向量的方向角
方向角：非零向量与三个坐标轴的夹角

5.计算

(1)平面线积分

步骤：

曲线L是否封闭：【①曲线是否封闭】
(1)曲线封闭，用格林公式
(2)不封闭，看是否与路径无关(Qx=Py) 【②线积分是否与路径无关】
①路径无关，改换路径为直线的简单路径
②不是积分与路径无关：
i.直接算好算，参数方程直接算 【③参数方程直接算是否好算】
ii.直接算好算，补线用格林公式

1.参数方程：化为定积分直接算

定理：设P(x,y)与Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 $\{\begin{array}{rl}x& =x(t)\\ y& =y(t)\end{array}$

则有 ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }[P(x(t),y(t))\cdot x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))\cdot y^{\prime }(t)]dt$

$dx=\frac{dx}{dt}dt，dy=\frac{dy}{dt}dt$

2.格林公式

格林公式 定理1：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
$${\oint }_{L}Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
其中，L是D的正向边界曲线。外逆内顺。

一元函数积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$
告诉我们：F’(x)在区间[a,b]上的积分，可以通过它的原函数F(x)在这个区间两个端点上的值来表达。 格林(Green)公式告诉我们，在平面区域D上的二重积分，可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。

①曲线不封闭，补线用格林

步骤里的最后一步(第4步)，不封闭、不是积分与路径无关、直接算不好算，就需要补线用格林公式

②有奇点，要挖洞   (平面线积分)

1.挖洞的原因：
格林公式要求围成的区域内，要有一阶连续偏导数。若被积函数在(0,0)点无定义 (如分母是$a{x}^2+b{y}^2$)，则需要挖一个小圆或小椭圆。使得在环形域上格林公式成立，再减去小域的线积分。
该类题，一般可验证，$Q_x=P_y$

2.步骤：
例如：计算$I={\int }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$，L为逆时针

(1)$I={\int }_L...$
令$P(x,y)=...，Q(x,y)=...$

当$(x,y)\ne (0,0)$时，有$\frac{\partial Q}{\partial x}=...=\frac{\partial P}{\partial y}$

(2)作辅助曲线$L_1$：$分母=r^2$ (r为充分小的正数)，取逆/正时针方向。 (注意外逆内顺)
记$L_1$围成区域为$D_1$，$L+L_1$围成区域 D\D₁

(3)$I={\oint }_{L+L_1}-{\oint }_{L1}=I_0-I_1$

$I_0={\oint }_{L+L_1}\stackrel{格林公式}{=}\underset{D\backslash D_1}{\iint }(Q_x-P_y)dxdy=0$

$I_1={\oint }_{L_1}\stackrel{代入分母}{=}\frac{1}{r^2}{\oint }_{L_1}...dx+...dy\stackrel{格林公式}{=}\frac{1}{r^2}\underset{D\backslash D1}{\iint }...dxdy=...$

∴$I=I_0-I_1=...$

3.若PQ有一阶连续偏导数且$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}，(x,y)\ne (0,0)$，则有以下结论：【讲义P245 例4注】
1)沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零：$I=0$
2)沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等：选以分母为边界的圆域或椭圆域进行积分。(即无论外面的D长啥样，最后都变成在L₁所围的D₁里积分。)

例题1：24李林六(三)18.

答案：

例题2：00年13.

分析：

答案：$\pi$

例题3：20年15.

答案：

例题3：21年20.   平面二类线 + 有奇点，要打洞

分析：
(Ⅰ)二重积分值最大，则积分区域D的边界应该为被积函数f(x,y)。(这样可D可包含所有使得被积函数非负的点，且不包含使被积函数为负的点。必取得最大值)

(Ⅱ)有奇点，要打洞

答案：

例题5：23李林四(一)4.

分析：

答案：C

例题6：24李林六(一)4.

分析：
①顺时针方向，格林公式化二重积分取负。排除BC
②分母 xdy-ydx ，Q_x-P_y=2
③积分域为圆形
综上①②③，答案为 -2π

总结：对比例5和例6，挖洞的积分值与外圈曲线围成的大小无关，只与①外圈曲线的方向有关(逆时针正,顺时针负) ②挖洞的形状大小有关 ③去掉分母后的$Q_x-P_y$大小有关

答案：A

例题7：同济七版下册p208 例4

③曲线积分比较大小

例题1：13年4.

分析：
4条曲线的图像：
由格林公式，$I_i=\underset{D}{\iint }(1-x^2-\frac{y^2}{2})dxdy$
当 $1-x^2-\frac{y^2}{2}>0$，即 $x^2+\frac{y^2}{2}<1$，即在椭圆L4范围内时，积分为正。出了椭圆L4，积分为负。

对比可知，$I_4$最大。

答案：D

3.平面上曲线积分与路径无关的充要条件：Qx = Py

P(x,y)、Q(x,y)在单连通区域D上有一阶连续偏导数，若 Qx = Py，则线积分与路径无关。

(1)改换路径

(2)利用原函数

求原函数的方法：①凑微分 ②偏积分

①要求单连通，偏导连续。
②③④只要求P(x,y)、Q(x,y)连续

(2)空间线积分

1.参数方程

参数方程：$\{\begin{array}{rl}x& =\phi (t)\\ y& =\psi (t)\\ z& =\omega (t)\end{array}$，则${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }[P\cdot {\phi }^{\prime }(t)+Q\cdot {\psi }^{\prime }(t)+R\cdot {\omega }^{\prime }(t)]dt$

(1)曲线围成圆时，x=cost，y=sint，z用x,y表示出来
(2)只给了A、B两点坐标。写出直线的参数式方程。

例题1：24李林六(五)13.

2.斯托克斯公式

斯托克斯公式：封闭曲线积分 ⇦⇨ 围成的曲面积分

①${\oint }_{Г}Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$

②${\oint }_{Г}Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\underset{\Sigma }{\iint }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

注：
①$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\vec{n}°$为单位化的法向量$\overrightarrow{n_e}$
②空间曲线围成的是平面，化为一型面积分 (因为平面的方向余弦是常数)；
空间曲线围成的是曲面，化为二型面积分。

例题1：11年12.   斜平面与圆柱截，都是椭圆。不需要认真画出图来，知道是个椭圆就行了。

分析：
①方法一：直接法【直接法计算时，先利用周期性，把积分限从0到2π改为-π到π，然后利用奇偶性，可大大化简计算。】
②方法二：斯托克斯公式【围成平面，化为一型面】
③方法三：降维用格林

答案：π

例题2：14年12.   三元空间曲线：①
参数方程 ②斯托克斯公式

分析：

答案：π

例题3：22年19.   空间二类线：斯托克斯公式Ⅱ型 + 高斯公式

答案：

例题4：15年19.

分析：三元曲线积分：①补线段成封闭曲线用斯托克斯 ②把曲线L写成三元参数方程

答案：

(1)空间曲线积分与路径无关的充要条件：Ry=Qz，Pz=Rx，Qx=Py

即斯托克斯公式的三项均为0：$\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z}，\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

例题1：24李林六(五)13.

3.降维用格林：用z=z(x,y)消z

空间线为曲面和平面的交线，则一定为封闭的空间曲线。
由平面方程易得 z=z(x,y)。代入z=z(x,y)入原积分，消去z，降维成平面曲线 (相当于将空间线投影到xoy平面)。
因为是封闭的平面曲线，可用格林公式。

例题1：11年12. 法三   斜面切圆柱面，截面是椭圆，投影下来一定是圆（图都不需要认真画出来）

例题2：14年12.
将z=-y代入，空间曲线投影为平面曲线

二、曲面积分

(一) 第一类曲面积分：对面积dS

1.定义

2.性质

3.几何意义、应用：曲面质量、曲面的面积

①曲面的质量：$m=\underset{\Sigma }{\iint }\rho (x,y,z)dS$
②曲面的面积：$S=\underset{\Sigma }{\iint }1dS$

4.计算

(1)求第一类曲面积分：直接法 (dS公式投影为二重积分)

①设曲面∑：z=z(x,y)，(x,y)∈D_xy，则
$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

投影到xOy平面：(上下)：$dS=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

类似可有：
②若曲面由方程x=x(y,z)给出，(y,z)∈D_yz，则
$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x(y,z),y,z]\sqrt{1+x_y^2(y,z)+x_z^2(y,z)}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

投影到yOz平面：(前后)：$dS=\sqrt{1+x_y^{\prime 2}+x_z^{\prime 2}}dydz$

③若曲面由方程y=y(x,z)给出，(x,z)∈D_xz，则
$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{xz}}{\iint }f[x,y(x,z),z]\sqrt{1+y_x^2(x,z)+y_z^2(x,z)}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$

投影到xOz平面：(左右)：$dS=\sqrt{1+y_x^{\prime 2}+y_z^{\prime 2}}dxdz$

注：一类面投影为二重积分不考虑前面的正负

例题1：12年12.

分析：

答案：$\frac{\sqrt{3}}{12}$

例题2：23李林六套卷(五)12.

分析：
由对称性，x和z的奇函数在对称积分域内的积分为0

答案：$-\pi R^3$

例题3：23李林四20.   曲面的质量

答案：

(2)对称性：奇偶对称性、轮换对称性

1.奇偶对称性(偶倍奇零)
①关于xoy面对称，若是z的奇函数则为0，若是z的偶函数则为z≥0部分的2倍
②关于xoz面对称，若是y的奇函数则为0，若是y的偶函数则为y≥0部分的2倍
③关于yoz面对称，若是x的奇函数则为0，若是x的偶函数则为x≥0部分的2倍

2.轮换对称性
例如：Σ：x²+y²+z²=1，求$\underset{\Sigma }{\iint }{x}^2+y^{2}dS$，则为$\frac{2}{3}\underset{\Sigma }{\iint }{x}^2+y^2+z^{2}dS=\frac{2}{3}\underset{\Sigma }{\iint }1dS=\frac{2}{3}\times 4\pi \times 1^2=\frac{8}{3}\pi$

例题1：23李林六套卷(四)14.

分析：

答案：$\frac{\pi }{2}$

(二) 第二类曲面积分：对坐标

1.定义

2.性质

第二类(对坐标)有方向。改变方向，差负号。

3.应用：通量

4.计算

(1)曲线封闭，PQR一阶偏导存在：高斯公式
(2)曲线不封闭，直接算好算：直接法：①一投二代三定号 ②转换投影法(三合一公式)
(3)曲线不封闭，直接算不好算：补面用高斯公式

注意：
(1)高斯公式，使用条件：PQR可导 (一阶偏导存在) 【反例：20年18.】
(2)转化投影法，使用条件：①投影是面，不能是一条线 ②投影不能重合

(1)高斯公式

历年真题：07、08年12、09、14、16、18年17.

①曲面封闭，直接用高斯公式

1.高斯公式 ：封闭的第二类曲面积分→三重积分

设空间封闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，若函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
$$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v$$
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ与cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。

2.判断曲面是否封闭：
①上侧、下侧、左侧、右侧、前侧、后侧：不封闭，补面用高斯公式
②内侧、外侧：封闭曲面，直接用高斯公式

例题1：21年14.   外侧：已封闭，直接用高斯公式

分析：内侧、外侧是对已封闭曲面的说法，故封闭曲面可直接用高斯公式。再利用对称性、椭圆面积公式、柱体体积公式，可得$4\pi$

答案：$4\pi$

②曲面不封闭，补面用高斯公式

使用条件：PQR有连续一阶偏导，考虑补面为封闭空间区域，用高斯公式。
①曲面Σ有具体表达式，且没有分母，一般就可导
②要求可导，f只是连续函数无法使用高斯公式（如20年18题）

例题1：08年12.   对坐标的曲面积分、高斯公式(补辅助面)

分析：散度为y，考虑用高斯公式。曲面Σ不是封闭曲面，先补个面围成封闭曲面。

答案：4π

例题2：18年17.   $第二类曲面积分\stackrel{高斯公式}{\to }三重积分\stackrel{截面法}{\to }二重积分\stackrel{极坐标}{\to }定积分$

答案：

例题3：06年3.

③有奇点，先挖洞，再高斯公式：$I=\underset{\Sigma }{\iint }=\underset{\Sigma +{\Sigma }_1}{\iint }-\underset{{\Sigma }_1}{\iint }$

例1：09年19题

例2：辅导讲义P252例3

(2)直接法

①一投二代三定号

②转换投影法 (三合一公式)

将对曲面的曲面积分，投影到某个坐标面上，变为对该坐标面的二重积分

①投影到xOy平面：$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }[P\cdot (-z_x)+Q\cdot (-z_y)+R]dxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }[P\cdot (-z_x)+Q\cdot (-z_y)+R]dxdy（上侧取正,下侧取负）$

②投影到xOz平面：$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{D_{yz}}{\iint }[P\cdot (-y_x)+Q+R\cdot (-y_z)]dzdx（右侧取正,左侧取负）$

③投影到yOz平面：$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{D_{xz}}{\iint }[P+Q\cdot (-x_y)+R\cdot (-x_z)]dydz（前侧取正,后侧取负）$

两类曲面积分之间的联系：化二型面为一型面

$$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS \\ dydz=\cos \alpha \mathrm{d}S，dzdx=\cos \beta \mathrm{d}S，dxdy=\cos \gamma \mathrm{d}S \end{gathered}$$

$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$为曲面的法向量的方向余弦，即单位化的法向量

用 两类曲面积分之间的联系 推导出 转换投影法(三合一公式)：都提一个cosγ出去

例题1：20年18.   不可导无法使用高斯公式，消去抽象函数：两类曲面积分之间的联系，化二型面为一型面 或 转换投影法 【辅导讲义P252例5】

答案：
法一：转换投影法

法二：两类曲线积分之间的联系

例题2：24李林六(一)   PQR有奇点，不可导。不能用高斯公式，只能用转换投影法

分析：
求二类面，PQR带$f$一般是用转换投影法，不能使用高斯公式，原因是：
①$f(x)$虽然可导，但$f(\frac{x}{y})$有奇点 $y=0$，PQR不连续，不可导。
②直线AB绕z轴旋转，曲面不封闭。被积函数带$f$，要补面就很麻烦。
综上，二类面PQR出现$f$，一般用转换投影法

答案：

例题3：19年12.   开根要带绝对值、$|y|$是关于y的偶函数

分析：曲线曲面积分，可以用代入法。开根要带绝对值。

答案：$\frac{32}{3}$

例题4：06年3.   补面 + 高斯公式 +投影 + 代入z=1

分析：
①补面${\Sigma }^{\prime }:z=1(x^2+y^2\le 1)$
②高斯公式得封闭曲面积分为6倍圆锥体积=$2\pi$
③$\underset{{\Sigma }^{\prime }}{\iint }xdydz+2ydzdx+3(z-1)dxdy=+\underset{Dxy}{\iint }3(z-1)dxdy$
④由于补面${\Sigma }^{\prime }为z=1(x^2+y^2\le 1)$，所以z-1=0，所以代入得该积分为0
⑤相减，$2\pi -0=2\pi$

答案：$2\pi$

三、多元积分的应用

1.面积、体积、质量、质心、形心坐标、转动惯量

1.变力做功：$W={\int }_{AB}Pdx+Qdy+Rdz$
2.通量：$\Phi =\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

重心、质心、形心：
①重心：重力的中心；
质心：质量的中心；
形心：几何形状的中心；
②重力场均匀，重心即为质心。
密度均匀，质心即为形心。

(1)形心坐标

ρ(x,y,z)=1时质心，称为形心 (质地均匀，密度为常量)

质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。

求二维、三维质心、形心，注意对称性：关于x轴、yOz面对称则$\bar{y}=0$；关于y轴对称则$\bar{x}=0$

平面形心 (二维均匀薄面的形心坐标)： 二重积分的计算
$$\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\mathrm{d}\sigma }{A}，\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }y\mathrm{d}\sigma }{A}$$
$$A=\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma$$

空间体形心(三维密度均匀的几何体的形心坐标)： 三重积分的计算、二次曲面
$$\bar{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }x\mathrm{d}v}{V}，\bar{y}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }y\mathrm{d}v}{V}，\bar{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }z\mathrm{d}v}{V}$$

$$V=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

例题1：10年12. 重积分的应用：形心坐标

分析：$\bar{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }z\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v}$

被积函数只有z，考虑截面法：截面面积为 πρ² = πz

$\underset{\Omega }{\iiint }z\mathrm{d}v={\int }_0^{1}dz\underset{D_z}{\iint }z\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{1}z\cdot \pi zdz=\pi {\int }_0^1{z}^{2}dz=\frac{\pi }{3}$

$\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v={\int }_0^{1}dz\underset{D_z}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\pi zdz=\pi {\int }_0^{1}zdz=\frac{\pi }{2}$

$\therefore \bar{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }z\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v}=\frac{\frac{\pi }{3}}{\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{3}$

答案：$\frac{2}{3}$

例题2：24李林四(一)13.   质心坐标

分析：

答案：$\frac{2}{3}$

例题3：13年19.   重积分的应用：形心坐标

分析：
求形心坐标
代入$x=-x，y=-y，z=-z$，代入哪个若方程不变，则哪个形心坐标就是0
如本题，旋转曲面方程为 $x^2+y^2=2z^2-2z+1$，代入$x=-x，y=-y$方程不变，则由对称性得 $\bar{x}=0，\bar{y}=0$。只需求 $\bar{z}=\frac{\iiint zdv}{\iiint 1dv}$

答案：

例题4：19年19. 【高数辅导讲义P256例3】  三重积分的几何应用：形心坐标、对称性

分析：
空间区域Ω的形心坐标公式：$\overline{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }xdv}{V}，\overline{y}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }ydv}{V}，\overline{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }zdv}{V}$

(1)将$x$换成$-x$，锥面方程不变 ∴锥面、锥体关于 $yOz$面对称
由对称性知 $\overline{x}=0$

(2)画图：
①令z=0，z=1，z=1/2
②对于锥面方程 x²+(y-z)²=(1-z)²，可视为 圆心为 (0,z)，半径为 r=1-z

锥面图像如图所示
 

(3)$V_{锥体}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 1=\frac{\pi }{3}$

(4)先二后一，求 $\underset{\Omega }{\iiint }zdv$：截面法，得$\frac{\pi }{12}$

(5)先二后一，求 $\underset{\Omega }{\iiint }ydv$：
①方法一(标准答案)：平移 + 极坐标，令x=ρcosθ，y-z=ρsinθ，即y=z+ρsinθ。运算量略大
②方法二(武忠祥)：奇函数的平移 y=y-z+z，而y-z关于平面对称，又是y-z的奇函数，故积分为0，只剩z的三重积分，上问求过了，是$\frac{\pi }{12}$

(6)代入得出形心坐标 $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$

答案：$(0,\frac{1}{4},\frac{1}{4})$

例题5：

分析：建立坐标，令P₀位于原点，则密度函数 $\rho (x,y,z)=k(x^2+y^2+z^2)$

答案：

(2)转动惯量

1.平面薄片的转动惯量(对x轴、y轴)：
$I_x=\underset{D}{\iint }{y}^2\rho (x,y)d\sigma ，I_y=\underset{D}{\iint }{x}^2\rho (x,y)d\sigma$

2.空间立体的转动惯量(对x轴、y轴、z轴)：
$I_x=\underset{\Omega }{\iiint }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)dv$
$I_y=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)dv$
$I_z=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)dv$

3.空间曲面的转动惯量(对x轴、y轴、z轴)：
$I_x=\underset{\Sigma }{\iint }(y^2+z^2)\rho d\mathrm{S}$
$I_y=\underset{\Sigma }{\iint }(x^2+z^2)\rho d\mathrm{S}$
$I_z=\underset{\Sigma }{\iint }(x^2+y^2)\rho d\mathrm{S}$

例题1：23李林六(六)14.

分析：

答案：2π

例题2：24李林六(二)13.

答案：2π

2.利用形心公式 求解线面积分、重积分

1.若已知形心坐标 $\bar{x}$、曲面面积S，则$\underset{\Sigma }{\iint }xdS=\bar{x}\cdot S$

3.重积分、线面积分的最值问题

1.二重积分/三重积分的最值问题：
取最大值，令被积函数≥0，确定D或Ω
取最小值，令被积函数≤0，确定D或Ω

2.第二类曲线积分/曲面积分的最值问题：
若为曲线积分，先用格林公式化为二重积分
若为曲面积分，先用高斯公式化为三重积分

例题1：21年20.(1)

分析：
$I(D)$取最大值，令 $4-x^2-y^2\ge 0$，即取积分区域$D_1=\{(x,y)|x^2+y^2\le 4\}$

答案：8π

例题2：24李林六(四)19.(1)

分析：
$I$最小，即 $x^2+y^2+z^2-1\le 0$，即令积分空间 $\Omega =\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\}$

答案：$-\frac{8}{5}\pi$

例题3：24李林六(六)14.

分析：
$I$取最大值，即$1-x^2-y^2\ge 0$，即取积分区域 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 1\}$

答案：$\frac{3}{2}\pi$

四、场论初步

1.方向导数

1.概念：方向导数，多元函数沿着指定方向l的变化率
2.计算：要求可微

2.梯度

①梯度向量的方向：方向导数数值最大的方向
②梯度的模：方向导数的最大值

3.散度 divA

散度是一个数，出自高斯公式：

若向量 $\mathbf{A}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$，则散度：
$$divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

例题1：24李林六(五)14、23李林六套卷(二)14.

分析：

答案：0

4.旋度 rot A

旋度是一个向量，出自斯托克斯公式：

设有一向量场$F(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$

旋度，$rotF=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\vec{k}$

例题1：18年11.

分析：$rotF=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ xy& -yz& zx\end{array}\right|=0-(x\vec{k}-y\vec{i}+z\vec{j})$ 代入(1,1,0) 得 $-(\vec{k}-\vec{i})=\vec{i}-\vec{k}$

答案：$\vec{i}-\vec{k}$

例题2：16年10.

答案：$\vec{j}+(y-1)\vec{k}$

例题3：24李林六(五)14.