秒杀序列

1.欧拉方程：直接代入 $x^2{y}^{\prime \prime }(x)=y^{\prime \prime }(t)-y^{\prime }(t)，x{y}^{\prime }(x)=y^{\prime }(t)$

2.有奇点要打洞：$I=\pm \frac{分子的格林}{r^2}\times \pi ab$。逆时针为负，顺时针为正

高等数学

初等数学

1.$1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

2.$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

第三章：中值定理

泰勒公式

①$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

②$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

③$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+(x{)}^n+o(x^n)$

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...+(-x{)}^n+o(x^n)$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

极值与拐点

区分极值点与极值：
极值点：x=-1
极值：f(-1)=2是极大值

第四章：不定积分

1.不定积分公式
$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

第五章：定积分

1.定积分定义：${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$
将[0,1]n等分，得：${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\cdot \frac{1}{n}$

2.换元法：有根号时，尽量换元去掉根号

3.分部积分原则：提到后面的v的顺序：三指幂对反

4.伽马函数：${\int }_0^{+\infty }{x}^n\cdot e^{-x}dx=n!$

第七章：微分方程

1.二阶齐次

2.二阶非齐次
(1) $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 型
①先求二阶齐次的特征方程，求出特征根 r₁ r₂，对比λ是否为为特征根
②特解可设为 $y\ast =x^k{e}^{\lambda x}{P}_m(x)$
$k=\{\begin{array}{rl}0& ,\lambda 不是特征方程的根\\ 1& ,\lambda 是特征方程的单根\\ 2& ,\lambda 是特征方程的重根\end{array}$

3.欧拉方程
由$x=e^t$，不难得出，直接代入原方程： $x^2{y}^{\prime \prime }(x)=y^{\prime \prime }(t)-y^{\prime }(t)，x{y}^{\prime }(x)=y^{\prime }(t)$

第八章：空间解析几何

1.锥面：$z^2=x^2+y^2$，上半锥面：$z=\sqrt{x^2+y^2}$

第九章：多元微分 及其 几何应用

1.方向导数:
(1)二元方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta$

(2)三元方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta +f_z^{\prime }\cos \gamma$

2.梯度：梯度就是 对应偏导 $+\vec{i}\vec{j}\vec{k}$
(1)二元梯度：$\overrightarrow{grad}f=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}$
(2)三元梯度：$\overrightarrow{grad}f=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}+f_z^{\prime }\vec{k}$

3.方向导数与梯度的关系：最大方向导数，即为梯度的模

第十章：重积分

1.三维形心坐标：$\bar{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }x\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v}，\bar{y}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }y\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v}，\bar{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }z\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v}$

2.投影法(先单后重)：$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{D}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_{z_1}^{z_2}f(x,y,z)\mathrm{d}z$

3.截面法(先重后单)：$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_{z_1}^{z_2}dz\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

对于f里只含z的三重积分，建议使用截面法：$\underset{\Omega }{\iiint }f(z)\mathrm{d}v={\int }_{z_1}^{z_2}f(z)dz\underset{D_z}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{z_1}^{z_2}f(z)\cdot D_{z}dz$

第十一章：曲线积分与曲面积分

1.散度div：  $divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

2.旋度rot：  $rotF=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

3.有奇点要打洞：
①令$P(x,y)=...，Q(x,y)=...$
当$(x,y)\ne (0,0)$时，有$\frac{\partial Q}{\partial x}=...=\frac{\partial P}{\partial y}$

②作L₀：分母= r²，即…=1 (r>0且L₀位于L内，取和L相同的方向，一般为逆时针)
设$L_0^{-}$与$L$围成的区域为D₁，L₀围成的区域为D₂
由格林公式得：${\oint }_{L+L_0^{-}}...=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$
$\therefore {\oint }_L\frac{分子}{分母}={\oint }_{L_0}\frac{分子}{分母}=\frac{1}{r^2}{\oint }_{L_0}分子=\frac{1}{r^2}\underset{D_2}{\iint }分子dxdy$，再用格林。

4.曲面的质量(一类面)：$m=\underset{\Sigma }{\iint }\rho (x,y,z)dS$

6种积分的计算

1.二重积分
①直角坐标：X型区域、Y型区域
②极坐标
③二重积分中值定理

2.三重积分
①投影法
②截面法
③柱面坐标
④球面坐标

3.对弧长的曲线积分
ds公式：  $ds=\{\begin{array}{rlr}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx& & 一元函数\\ \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt& & 参数方程\\ {\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )d\theta & & 极坐标\end{array}$

4.对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）
平面曲线：
①格林公式(补线段、有奇点要打洞)
②参数方程

空间曲线：
①降维用格林公式（代入z=z(x,y)消z）
②斯托克斯公式 (求法向量单位化得 cosα cosβ cosγ)
③参数方程

5.对面积的曲面积分
dS公式：   $dS=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

6.对坐标的曲面积分
①转换投影法：$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }[P\cdot (-z_x)+Q\cdot (-z_y)+R]dxdy$(上侧取正)
②高斯公式(补面)

(1)六种均可用的：对称性(奇偶对称性、轮换对称性)
(2)四种曲线曲面积分可用的：代入法

9种方法计算曲线曲面积分：
①ds ②dS ③④⑤三大公式 ⑥参数方程 ⑦转换投影法 ⑧对称性(奇偶对称性、轮换对称性) ⑨代入法

第十二章：无穷级数

1.幂级数求和：

2.特殊的级数
(1)p级数：  $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$         $\{\begin{array}{rl}p>1，& 收敛\\ 0<p\le 1，& 发散\end{array}$

(2)交错p级数：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^p}$   $\{\begin{array}{rl}p>1，& 绝对收敛\\ 0<p\le 1，& 条件收敛\end{array}$

3.傅里叶系数：
$$\{\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,3,...)\end{array}$$

傅里叶级数：
$$\begin{gathered} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \\ {f}_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \\ {f}_1(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+b_1\sin x \end{gathered}$$

狄利克雷收敛定理：
$$S(x)=\{\begin{array}{rl}f(x)，& x为连续点\\ \frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}，& x为间断点\end{array}$$

线性代数

等价条件

1. ①|A|≠0，A可逆
⇦⇨②r(A)=n，A满秩
⇦⇨③α₁,α₂,…α_n线性无关
⇦⇨④Ax=0仅有零解

2. ①|A|=0，A不可逆
⇦⇨②r(A)<n，A不满秩
⇦⇨③α₁,α₂,…α_n线性相关
⇦⇨④Ax=0有非零解

第一章：行列式

行列式的性质

1.若A为n阶方阵，则$|kA|=k^n|A|$
2.$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

3.分块矩阵的行列式：
(1)副对角线
若A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，则$\left|\begin{array}{cc}O& B\\ A& C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& B\\ A& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$

第二章：矩阵

伴随矩阵A*

1.若$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$，则$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right)$

2.$|A^{\ast }|=A^{n-1}$

第四章：方程组

1.非齐次线性方程组AX=β解的判别：
$r(A)<r(A,\beta )$，非齐次线性方程组AX=β无解，β不能由α₁,α₂,α₃线性表示
$r(A)=r(A,\beta )$，非齐次线性方程组 AX=β有解，β可由α₁,α₂,α₃线性表示
$r(A)=r(A,\beta )=n$，非齐次线性方程组AX=β有唯一解，β可由α₁,α₂,α₃线性表示且表示法唯一
$r(A)=r(A,\beta )<n$，非齐次线性方程组AX=β有无穷多解，β可由α₁,α₂,α₃线性表示且表示法不唯一

第五章：特征值与相似矩阵

相似

1.特征值、特征向量的定义：$A\xi =\lambda \xi ⇦⇨(\lambda E-A)\xi =0$

2.相似的定义：$P^{-1}AP=B$，则 $A\sim B$

相似对角化

1.可相似对角化的定义：$P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)，A\sim \Lambda$

2.n阶矩阵A可相似对角化的条件：

5.施密特正交化：
${\beta }_1={\alpha }_1$

${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$

${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$

6.标准形：
二次型在正交变换下得到的标准形的系数，是矩阵的特征值。

7.秩为1的实对称矩阵的特征值：λ₁=tr(A)，λ₂=λ₃=0

8.行和相等为2：则2为A的一个特征值，其对应特征向量为$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

概率论与数理统计

第二章：一维随机变量及其分布

1.概率
① P { X ≤ a } = F ( a ) P\{X≤a\}=F(a) P{X≤a}=F(a)
P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a) P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)
$P${ $a<X\le b$ } $=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$

②$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

③$f(x)=F^{\prime }(x)$

2.泊松分布 ：
①分布律： P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n , . . . ) P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \qquad (k=0,1,2,...,n,...) P{X=k}=k!λk​e−λ(k=0,1,2,...,n,...)
②数学期望：E(X)=D(X)=λ

3.指数分布的概率密度：$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

4.正态分布的概率密度：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-{\mu }^{)}}^2}{2{\sigma }^2}}$

当$x=\mu$时，f(x)取最大值 $f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，只与$\sigma$有关。

5.标准正态分布的概率密度：$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$

6.最大最小值函数
① P { m a x { X , Y } ≤ a } = P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{max\{X,Y\}≤a\}=P\{X≤a，Y≤a\} P{max{X,Y}≤a}=P{X≤a，Y≤a}

② P { m i n { X , Y } ≥ a } = P { X ≥ a ， Y ≥ a } P\{min\{X,Y\}≥a\}=P\{X≥a，Y≥a\} P{min{X,Y}≥a}=P{X≥a，Y≥a}

最小值函数习题：660 T443、T450

第三章：多维随机变量及其分布

1.分布函数 F(x)、F(x,y)

定义法求分布函数F(x)、F(x,y)：
① F X ( x ) = P { X ≤ x } F_X(x)=P\{X≤x\} FX​(x)=P{X≤x}
② F ( x , y ) = P { X ≤ x ， Y ≤ y } F(x,y)=P\{X≤x，Y≤y\} F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}

2.概率密度 f(x)、f(x,y)

1.f(x,y)的概念：
$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$，称f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度 或 随机变量X和Y的联合概率密度

2.f(x,y)的性质：
二维连续型随机变量的概率密度：$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

举例： 若 Z = X 2 + Y 2 ，则 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X 2 + Y 2 ≤ z } = ∬ x 2 + y 2 ≤ z f ( x , y ) d x d y 若Z=X^2+Y^2，则F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{X^2+Y^2≤z\}=\iint\limits_{x^2+y^2≤z}f(x,y)dxdy 若Z=X2+Y2，则FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}=x2+y2≤z∬​f(x,y)dxdy

3.独立性

$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\iff X,Y独立$

第四章：数字特征

1.数学期望
$E(X)=\{\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k& ，离散型\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx& ，连续型\end{array}$

$E(X^2)=\{\begin{array}{rl}E(X^2)=D(X)+E^2(X)& ，离散型或连续型\\ {\int }_0^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx& ，连续型\end{array}$

区分：
$P$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }$$f(x)$$dx$
$E(X)$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }$$xf(x)$$dx$

2.方差
$D(X)=E(X^2)-E^2(X)$
$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$

3.协方差
1)协方差的定义(公式)：
①Cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y)
②$\mathrm{Cov}=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$

2)协方差的性质：
$\mathrm{Cov}({\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2,\mathrm{Y})=\mathrm{Cov}({\mathrm{X}}_1,\mathrm{Y})+\mathrm{Cov}({\mathrm{X}}_2,\mathrm{Y})$
$\mathrm{Cov}(\mathrm{aX},\mathrm{bY})=\mathrm{ab}\mathrm{Cov}(\mathrm{X},\mathrm{Y})$
$\mathrm{Cov}(\mathrm{X},\mathrm{X})=\mathrm{D}(\mathrm{X})$
$\mathrm{Cov}(\mathrm{X},\mathrm{C})=0$

4.相关系数ρ
$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$     $\therefore \mathrm{Cov}=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$

5.切比雪夫不等式
P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ε } ≥ 1 − D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε²}\\[3mm] P\{|X-E(X)|<ε\}≥1-\dfrac{D(X)}{ε²} P{∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X)​P{∣X−E(X)∣<ε}≥1−ε2D(X)​

第五章：中心极限定理

1.独立同分布的中心极限定理： lim ⁡ n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ 2 ≤ x } = Φ ( x ) \lim\limits_{n→∞}P\{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-nμ}{\sqrt{nσ^2}}≤x\}=Φ(x) n→∞lim​P{nσ2 ​i=1∑n​Xi​−nμ​≤x}=Φ(x)

第六章：抽样分布定理

1.常用统计量：样本方差：${\mathrm{S}}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$
则当X~N(μ,σ²)时，有 $\frac{(n-1){\mathrm{S}}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$。 这里的σ²指的是X服从的分布里的方差，而不是$X_i-\bar{X}$的方差

2.抽样分布定理：
(1)$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})\frac{(\bar{X}-\mu )}{\sigma }\sqrt{n}\sim N(0,1)$

(2)样本均值$\bar{X}$与样本方差$S^2$相互独立，即$E(\bar{X}S)=E(\bar{X})E(S)$

(3)$\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}^2\sim {\chi }^2(n-1)E(S^2)={\sigma }^2，D(S^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$

(4)$\frac{(\bar{X}-\mu )}{S}\sqrt{n}\sim t(n-1)$

第七章：参数估计

1.最大似然估计值为x_i，最大似然估计量为X_i（值小写，量大写）
2.无偏估计：a是b的无偏估计，则 E(a)=b

第八章：假设检验

第一类错误：弃真。落在拒绝域。
第二类错误：取伪。落在接受域。