如何计算算法的复杂度

1. 算法时间复杂度

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。其中，f(n)是问题规模n的某个函数。这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大0记法。

2. 推导大O阶方法

大O阶推导一共分为下面3个步骤：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

3. 时间复杂度计算示例

3.1 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，是利用高斯定理计算1，2，……n个数的和。

int sum = 0, n = 100;       /*执行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2;      /*执行一次*/
printf("%d",sum);           /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f (n) =3。 根据我们推导大0阶的方法，第一步就是把常数项3 改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为0(1)。

另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句，则与示例给出的代码就是3次和12次的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n 的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是O(1)。如下面这段代码的时间复杂度就是O(1)。

var m = 100
console.log(n+1);
console.log(n+2);
console.log(n+3);  // O(1)

3.2 线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;      
for(i = 0; i < n; i++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

再比如，下面这段代码循环了n*n次，时间复杂度为O(n²)。

for (int i = 0 ;i <n; i++){
	for (int j = 0 ;j < n; j ++) {
    	System.out.println("第几次" + i+""+j);
    }
}

3.3 对数阶

下面代码：

int count = 1;      
while (count < n){
   count = count * 2;
  /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。 也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。 由2^x=n 得到x=logn。 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

3.4 平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

int i, j;      
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = 0; j < n; j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。 如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m*n)。所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢?

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++)
{
	for(j = i; j < n; j++) /* 注意 j = i 而不是0 */
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

解析：

由于当i = 0 时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，…当i = n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：

用我们推导大O阶的方法:

1. 没有加法常数不予考虑。
2. 只保留最高阶项，因此保留n²/2。
3. 去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

从这个例子我们也可以得到一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识的能力。

3.5 函数嵌套例子

有下面一个函数：

void function(int count)
{
	print(count);
}

上面的函数经过以下这个调用的方法：

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++)
{
	funtion(i);
}

函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

但如果调用函数是下面这样的：

void function(int count)
{
	int j;
	for(j = count; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n²)。

最后，我们考虑一下下面这个相对复杂的语句：

n++;   /* 执行次数为1 */
function(n);  /* 执行次数为n */
int i,j;
for(i = 0; i < n; i++)  /* 执行次数为n² */
{
	function(i);
}
for(i = 0;i < n; i++)  /* 执行次数为 n(n+1)/2 */
{
	for(j = i; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

他的执行次数：

根据推导大O阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是O(n²)。

4. 常见的时间复杂度

常见的时间复杂度如下表所示

常用的时间复杂度所耗费的时间从大到小依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

我们前面以及谈到了O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、O(n²)平方阶等，至于O(nlogn)等都类似分析，而像O(n³)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2ⁿ)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值，否则哪怕n只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论它。

复杂度与时间效率的关系：
c(常数) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
l------------------------------l--------------------------l--------------l
较好 一般 较差

5. 最坏情况与平均情况

我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中，这是一种最重要的需求， 通常， 除非特别指定， 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

而平均运行时间也就是从概率的角度看， 这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

6. 空间复杂度

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。

简单的讲就是包括下面几部分。

1.存储算法本身所占用的存储空间。

2.算法的输入输出数据所占用的存储空间。

3.算法在运算过程中临时占用的存储空间这三个方面。

int a[] = new int[n];

这个例子的空间复杂度是多少呢？这个数组开辟的空间是多少呢？ O(n)。

7. 总结

时间复杂度和空间复杂度本就是一个相互博弈的过程，一个多另一个就少，根据适当的问题，找到适当的解，这才是好办法。下面给一张常见数据结构时间和空间复杂度的图。