提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、曲面的侧及其投影

我们使用平面的法向量来表示曲面的方向，设曲面的一个法向量$\vec{n}=\cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k$

注意：一个曲面可以同时为前侧，右侧，上侧等；也就是对于同一曲面来说，每一个方向余弦在同一点处点值是互相独立点；

前后/左右/上下均是存不同的角度表示同一个曲面的方向，比如上侧与下侧是从 $xOy$ 坐标的角度来表示曲面方向，从$xOy$平面平行于$z$轴方向穿出一条射线，首次接触到的那一面为【下侧】，第二次接触到的那一面为【上侧】；但是对于一些在$xOy$上不是单值函数的$z=z(x,y)$，比如球体，可能出现多次接触的情况，这样第奇数次接触的一侧为【下侧】，偶数次接触的那一面为【上侧】。

另外，对于封闭曲面来说，还有【外侧】与【内侧】的规定，但是其外侧与内侧无法通过法向量来判断，这是因为对于一个封闭的【外侧曲面】，其不同部分可以为【前后左右上下侧】

一个空间曲面一定有俩面，就像一个曲面有俩个法向量：$\vec{n}$和$-\vec{n}$，每一个法向量表示一面；【这里我没有使用[侧]，而是使用了[面]，这是因为曲面的一面的不同部分可以分别是上下侧等等】

规定了曲面的 [方向/侧] 是为了区别同一个曲面的不同侧在曲面的投影，设$\sum$为有向曲面，其面积元素在$xOy$面上的投影记为$(\Delta S{)}_{xy}$，$(\Delta S{)}_{xy}$的面积为$(\sigma {)}_{xy}>=0$，则规定：
$$(\Delta S{)}_{xy}=\{\begin{array}{ll}(\sigma {)}_{xy},& \text{if }\cos \gamma >0\\ -(\sigma {)}_{xy},& \text{if }\cos \gamma <0\\ 0,& \text{if }\cos \gamma =0\end{array}$$类似可以规定$(\Delta S{)}_{yz},(\Delta S{)}_{zx}$

二、定义与性质

三、第二类曲面积分的计算

设曲面S由【单值函数】$z=z(x,y)$给出，并且指定要计算的[S的侧]为$\sum$，$\sum$ 在$xOy$面上的投影区域为$D_{xy}$，$z=z(x,y)$在$D_{xy}$上具有一阶连续偏导数，$R(x,y,z)$在曲面S上连续，则：
$$\begin{array}{r}{\iint }_{\sum }R(x,y,z)dxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{array}$$其中当$\sum$为上侧是取正号，下侧时取负号

注意：由于曲面S是【单值函数】$z=z(x,y)$决定的，所以不会出现$\sum$即有上侧也有下侧的情况；但是如果曲面S是【多值函数】 $z=z(x,y)$决定，那么就会出现$\sum$即有上侧又有下侧的情况；此时就需要将曲面分割为若干曲面，使其成为若干单值函数决定的曲面集合

但是曲面不一定是由$z=z(x,y)$确定的，那么给出曲面的侧也就不会是上下侧了，而是左右侧/前后侧，而计算${\iint }_{\sum }R(x,y,z)dxdy$而我们只能通过上下侧来判断正负，如何处理？

我们假设题目中告诉我们$\sum$是曲面S的前侧，假设此时曲面S由单值函数x=x(y,z)确定（一定为单值函数），设$F(x,y,z)=x(x,y)-x=0$，然后将$F(x,y,z)$整理为方便求导的形式$F(x,y,z)=G(x,y,z)$，然后对$G$求梯度，即$\nabla G=(A,B,C)$，这就是曲面$S$对某一侧面的法向量；

由于题目告诉所求曲面的侧为【前侧】，因此在这一侧的曲面一定是单值函数，否则就不能用[侧]来表示，因此$\nabla G=(A,B,C)$中的分量A虽然其大小不一定，但是其与0的大小是一定可以确定的，若$A<0$，则该侧为【后侧】，则该向量不是是我们所找侧的向量，对向量取相反数得到另一侧的向量$(-A,-B,-C)$，该向量就是我们所找的【前侧】对应的向量；

此时对前侧的法向量的-C分量与0进行比较大小，比较大小的时候需要注意由于曲面$S$只是在$yOz$上一定是单值的，在其它面投影不一定是单值的，所以-C与0比较大小可能比较不出来；此时就需要将曲面S分割为在$xOy$上的若干由单值函数确定的曲面${\sum }_1,{\sum }_2$等；这样就一定可以比较出来C与0的大小，也就可以确定，-C>0的曲面为上侧，-C小于0的曲面为下侧。

若$A>0$，则该侧就是【前侧】，直接让C的值与0比较大小即可

于是我们就判断出了曲面侧$\sum$是上侧还是下侧！！！
$$\begin{array}{r}{\iint }_{\sum }R(x,y,z)dxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{array}$$中正负号也就确定了（注意可能需要分割曲面）

如果给出的是内外侧，那么就只能画图来观察👀了

类似的：
$$\begin{array}{r}{\iint }_{\sum }P(x,y,z)dydz=\pm {\iint }_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz\end{array}$$前侧取正，后侧取负
$$\begin{array}{r}{\iint }_{\sum }Q(x,y,z)dzdx=\pm {\iint }_{D_{xz}}Q(x,y(x,z),z)dzdx\end{array}$$前侧取正，后侧取负

若曲面的侧不是由$x=x(y,z)$或者$y=(z,x)$给出，我们就依然要求解其梯度来判断在对于方向上曲面的侧

四、例题

下面是来自于2010年数学竞赛决赛的一道题：

对于曲面11，其计算得法向量（z<0）为 （正，？，负），可以知道该法向量对应的曲面为“下侧”，而题目要求是上侧，因此法向量取反后得到题目中要求曲面一侧，该侧的法向量 （负，？，正），于是由上表知道，由于第一个法向量小于0（此时曲面也为后侧），化作二重积分后面积取【负数】

而曲面12的计算法向量为 （负，?，负），第三分量为负，因此此时法向量对应的曲面为下侧，对向量取反后第三分量为正，满足题目要求的一侧，而此时第一分离为负，投影后取【正数】