[4G&5G专题-63]：物理层 - 子载波的多路复用+OFDM+快速傅里叶变换

第1章物理层架构

1.1 物理层内部功能协议栈

1.2 5G NR下行选项A

1.3 5G NR下行选项B

1.4 NR的物理层数据处理过程概述

第2章 FDM传统的频分复用与解复用（滤波）

5.2 时域与频域转换的数学工具：傅里叶分析法

5.3 案例

第6章 OFDM子载波复用的实现：快速傅里叶逆变换

6.7 快速傅里叶逆变换：采样点数值的快速计算

8.2 OFDM的缺点：“频谱重叠”需要付出的代价

第1章物理层架构

对本节的注解：

本章节内容的作用在于：从宏观感受物理层层映射、预编码矩阵在整个物理层协议栈中的位置和作用，无需深究每个环节。主体内容从第2章节开始。

1.1 物理层内部功能协议栈

1.2 5G NR下行选项A

1.3 5G NR下行选项B

1.4 NR的物理层数据处理过程概述

（1）信道编码与交织：处于计算机通信领域，这是计算机的底盘和擅长的地方。

（2）调制解调： 二进制序列到复指数子载波序列的映射过程，这是从计算机领域到数字信号处理DSP领域的跨越! 从计算机通信领域向数字无线通信领域的跨越！从此处开始进入数字信号处理领域！

（3）多天线技术的层映射

（4）扩频预编码（仅仅用于上行，可选）： 这是数字无线通信领域，在相同的频率资源，由“单一”空间向"码分"空间的跨越。

（5）多天线MIMO技术的预编码：这是数字无线通信领域中，在相同的频率资源，由“单一”空间向"分层"空间的跨越。

（6）无线资源映射RE mapping： 这是数字无线通信领域，这是由串行的时间域向并行的频率域的跨越。

（7）数字波束赋形：这是数字无线通信领域中，相同的频率资源，由“全向”空间向“波束局部”空间的跨越。

（8）OFDM变换（时域到频域的转换）：这是各个独立的频域子载波信号到时域信号的转换，这是无线通信领域中，从频域信号到时域信号的跨越！

（9）RF射频调制：这是在无线通信领域中，由数字无线通信领域向模拟无线通信领域的跨越！！！

本文探讨的是：第8步，OFDM变换

OFDM是一种多载波复用与解复用技术，因此在探讨OFDM正交频分复用之前，先探讨一下普通的频分复用FDM.

第2章 FDM传统的频分复用与解复用（滤波）

在实际通信系统中，通常传输信道能够提供比单路或单用户所需要的带宽大得多的频谱带宽。因此，多用户复用同一个物理无线信道就尤为重要。

通过载波频率来区分子信道是一种常用的多路复用的技术，即频分多路复用FDM技术。

比如，假设单路语音信号只需要200K的基带信号带宽，移动通信系统提供20M的带宽，这样20M的频谱带宽就可以同时传输20M/200K=200路信号，或同时为200个用户提供服务。

2.1 FDM频分多路复用

（1）物理模型

先调制：每一路信号分别用不同频率的载波进行独立的单载波调制。
后复用：然后线性叠加在一起进行传输，这就是频分复用，它利用原理是：频谱不重叠的、不同频率信号的线性叠加原理。

（2）复用信号后的频域频谱图

不同频率的信号，线性叠加起来，相关不干扰，只要他们的频谱不重叠就可以通过带通滤波器把他们分离出来，这就是解复用的过程！

（3）复用后信号的时域波形图

单载波调制后的信号：是幅度和相位受控的而频率与载波频率相同的周期性余弦波。

复用后信号的时域波形：是不同已调信号的幅度叠加，如下图所示：

由于不同的已调信号，其频率、相位、幅度都可能是不相同，因此这些信号叠加起来，时域上的表现形式就不再是周期的正弦或余弦信号了，而是一个非周期、连续时间的信号。

两个不同周期/频率的余弦波的线性叠加

三个幅度调制的已调信号的线性叠加

N路信号的叠加

（4）太阳光是多种频率电磁波的复用

2.2 频分多路复用FDM的解复用

解复用是多路复用的关键，一个无法解复用的多路复用是没有意义的。

（1）分光镜解复用

结论：

不同频率的信号是可以混在一起的，
且只要方法得当，可以把原先不同频率的信号分离出来。

（2）滤波法解复用

先通过带通滤波器进行解复用，这是频分复用的关键！

经过带通滤波器，每一路信号只包含用对应频率的已调信号，过滤掉了用其他载波调制的已调信号。

从频域的角度来看，通过带通滤波器，滤除掉了不需要的谐波分量，剩下的时域信号只保留了所需要的谐波分量的已调信号。

然后再进行单载波解调了。

（3）傅里叶变换

（4）快速傅里叶变换法

2.3 常见的滤波的种类或方法

（1）滤波的原理

滤波（Wave filtering）是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。滤波在射频信号接收和多路复用的解复用中得到广泛的应用。

滤波是根据傅立叶分析和变换提出的一个工程概念。根据高等数学理论，任何一个满足一定条件的信号，都可以被看成是由无限个正弦波叠加而成。

换句话说，就是工程信号是不同频率的正弦波线性叠加而成的，组成信号的不同频率的正弦波叫做信号的频率成分或叫做谐波成分。

滤波分为经典硬件滤波和现代数字滤波。

（2）经典硬件滤波器

滤波器只允许一定频率范围内的信号成分正常通过，而阻止另一部分频率成分通过的电路，叫做经典滤波器或滤波电路。

实际上，任何一个电子系统都具有自己的频带宽度（对信号最高频率的限制），频率特性反映出了电子系统的这个基本特点。而滤波器，则是根据电路参数对电路频带宽度的影响而设计出来的工程应用电路。

当允许信号中较高频率的成分通过滤波器时，这种滤波器叫做高通滤波器。
当允许信号中较低频率的成分通过滤波器时，这种滤波器叫做低通滤波器。
设低频段的截止频率为fp1,高频段的截止频率为fp2:

频率在fp1与fp2之间的信号能通过其它频率的信号被衰减的滤波器叫做带通滤波器。

反之，频率在fp1到fp2的范围之间的被衰减，之外能通过的滤波器叫做带阻滤波器。

（3）现代数字滤波器

数字滤波器是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。

数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。

数字滤波器对信号滤波的方法是：用数字计算机对数字信号进行处理，处理就是按照预先编制的程序进行计算。数字滤波器的原理如图所示，它的核心是数字信号处理器。

数字滤波器利用信号的随机性的本质，将信号及其噪声看成随机信号，通过利用其统计特征，估计出信号本身。一旦信号被估计出，得到的信号本身比原来的信噪比高出许多。典型的数字滤波器有Kalman滤波，Wenner滤波，自适应滤波，小波变换（wavelet）等手段 [2] 。从本质上讲，数字滤波实际上是一种算法，这种算法在数字设备上得以实现。这里的数字设备不仅包含计算机，还有嵌入式设备如：DSP，FPGA，ARM等。

2.4 FDM的应用

（1）1G大哥大

在各种1G系统中，美国AMPS制式的移动通信系统在全球的应用最为广泛，它曾经在超过72个国家和地区运营，直到1997年还在一些地方使用。

同时，也有近30个国家和地区采用英国TACS制式的1G系统。这两个移动通信系统是世界上最具影响力的1G系统。我国主要采用的是TACS。

TACS的总带宽是25M, 这样一共就有1000个独立的25K的子载波，通过小区级别的频率复用，每个小区理论上可以支持143对25KHz的物理载波信道。每对上下行的物理载波信道为用户提供双向的语音服务。

（1）手机间无法直接通信，必须基站+移动电话机才能进行通信

（2）手机与基站之间为无线信道，上行与下行采用不同的频率范围的电磁波，称为频分双工。

（3）每个方向上传输的信道包括：语音信道+控制信道，语音信道传送模拟的语音，采用频率调制；控制信道传送数据的控制信令，采用FSK调制。语音信道为手机专用信道，制信道分为手机专有信道+所有手机的共享信道。

（4）不同手机占用不同的专有信道，不同专有信道，占用不同的频谱带宽，称为频分多址。

（5）基站：提供无线接入

（6）移动电话局：移动手机之间的数据交换。

（7）固定电话聚：移动手机与固定电话之间的数据交换。

（2）GSM FDM

在GSM中，每个载频为200KHz，用户传输信令或用户数据。

（3）LTE上行单载波频分复用SC-FDM

SC-FDM本质上就是普通的频分复用FDM, 在LTE中，之所以给他专门取了一个名字SC-FDM。这是因为SC-FDM载波的带宽不是固定的，是根据用户传输的数据进行动态控制的，可以是15K, 也可以是150K (相当于10个连续的15K), 也可以是1.5M(相当于100个连续的15K) 或15M(相当于1000个连续的15K). 总之是可以动态调配的，单用户的数据调制带宽是连续的。

SC-FDM是把多个连续的15K子载波合成一个大的子载波块。

不同用户，所需要的连续的子载波的个数，因此合成后的带宽不同。

单载波和多载波是针对某个用户而言的，而不是基站。

相同比特率的数据，。

如果分别调制在多个15K的低带宽、低速的子载波上，则成为O-FDM多载波调制。

如果分别调制在一个大带宽、高速的载波上，则称为SC-FDM单载波调制。

2.5 传统频分复用的特点与不足

特点：

（1）FDM中，把整个频谱带宽，切分成无数个相同带宽的子载频，每个载频f1, f2, f3.....是独立数字调制的，比如采用正交幅度调制QAM（复指数调制或非复指数调制）或PSK调制（复指数调制或非复指数调制）

（2）线性叠加复用：每一路单独调制后，进行线性叠加，由于每个路的频谱之间留有一定的保护带宽，因此叠加后的频谱相互不干扰，在解复用时，先通过带通滤波器过滤多余的频谱，然后为每一路载波单独解调。

（3）通过滤波器解复用：由于每个载波之间是留有间隙的，因此很容易通过滤波器把每一路复用在一起的信号分离开来。

缺点：

（1）每个载频f1, f2, f3.....频谱之间，必须留有空隙，以防止不同载频之间的相互串扰，导致频谱的利用率不高，浪费了大量的稀缺的无线资源，频率利用率低。

（2）每一路用户最多只能占用有限的几个载波，导致单用户的数据速率无法得到大幅度提升。

第3章 OFDM正交频分复用

3.1 OFDM概述

OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交频分复用技术，实际上OFDM是MCM(Multi Carrier Modulation)，多载波调制的一种。

通过N个载波的频分复用实现高速串行数据的在空口上的并行传输, 提高了单用的数据传输的速率，同时能够支持多用户接入和具有较好的抗多径衰弱的能力。

OFDM主要思想是：

将信道分成若干正交子信道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到在每个子信道上进行传输。

正交信号可以通过在接收端采用相关技术来分开，这样可以减少子信道之间的相互干扰(ISI) 。每个子信道上的信号带宽小于信道的相关带宽，因此每个子信道上可以看成平坦性衰落，从而可以消除码间串扰，而且由于每个子信道的带宽仅仅是原信道带宽的一小部分，信道均衡变得相对容易。

通常的数字调制都是在单个载波上进行，如PSK、QAM等。这种单载波的调制方法易发生码间干扰而增加误码率，而且在多径传播的环境中因受瑞利衰落的影响而会造成突发误码。

若将高速率的串行数据转换为若干低速率数据流，每个低速数据流对应一个载波进行调制，组成一个多载波的同时调制的并行传输系统。这样将总的信号带宽划分为N个互不重叠的子通道(频带小于Δf)，N个子通道进行正交频分多重调制，就可克服上述单载波串行数据系统的缺陷。在向3G/4G演进的过程中，OFDM是关键的技术之一，可以结合分集，时空编码，干扰和信道间干扰抑制以及智能天线技术，最大限度的提高了系统性能。包括以下类型：V-OFDM, W-OFDM, F-OFDM, MIMO-OFDM,多带-OFDM。

OFDM中的各个载波是相互正交的，每个载波在一个符号时间内有整数个载波周期，每个载波的频谱零点和相邻载波的零点重叠，这样便减小了载波间的干扰。

由于载波间有部分重叠，所以它比传统的FDMA提高了频带利用率。

在过去的频分复用（FDM）系统中，整个带宽分成N个子频带，子频带之间不重叠，为了避免子频带间相互干扰，频带间通常加保护带宽，但这会使频谱利用率下降。

为了克服这个缺点，OFDM采用N个重叠的子频带，子频带间正交，因而在接收端无需分离频谱就可将信号接收下来。

相对于FDM, OFDM的带宽提高了一倍！

3.2 什么是OFDM的频谱重叠？

（1）常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰

（2）为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。

靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落），两路信号互相之间可能已经产生干扰了。

（3）OFDM的频谱叠加

继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。这就是O-FDM的神奇之处！！！

3.3 OFDM频谱叠加到什么程度？

FDM频谱示意图

OFDM频谱示意图

当然，OFDM并非可以任意重叠，每个载波的最大带宽只能是30K，重叠的载波间隔15K。

3.4 1200个子载波的由来

如果说子载波的宽度是30K, 间隔是15K, 那么20M的带宽，会有20M/15K=1333个子载波，为什么是1200个子载波呢？

如果说子载波的宽度是30K, 间隔是15K, 那么1200个子载波，所需要的带宽为15K * 1200 = 18M, 为什么LTE的最大带宽是20M呢？剩余的2M带宽到哪里去了呢？

1200个子载波LTE的设计，所需要的实际带宽是18M, 把剩余的2M，左右各留1MHz作做为小区保护带宽，频谱利用率为18/20 = 90%.

那么包括带宽取决哪些因素呢？

不同基站之间的频率同步的精度，虽然所有的基站都会同步到GPS，实际上还是有偏差的，这就需要通过保护带宽来弥补这种偏差。
另一个重要的原因是基站的射频滤波器的限制，20M带宽的带通滤波器，无法做到理想的矩形滤波。如果增大滤波器的带宽，很容易引入噪音。

基于上述原因，LTE的标准选择了在20M带宽时，支持1200个子载波；10M带宽时支持600个子载波；5M带宽时支持300个子载波。频谱利用率为18/20 = 90%。

3.5 时频资源RE

（1）时频资源矩阵

由子载波和时间组合而成的二维的矩阵，矩阵中的每个单元是可以调制二进制比特的符号（子载波）。

频率维度：1200个单元格，最小单元是单载波的RE, 也称为符号；每个子载波之间的间隔是15K, 子载波的个数取决与小区带宽。20M带宽时，有1333子载波，有效子载波为1200，多余的子载波用于小区的保护。
时间维度：140个传输RE单元格，为每个RE预留的传输时间为0.5ms/7=0.07ms，连续7个RE的传输为1个slot，每2个slot为1ms的子帧，10个1ms的子帧构成一个10ms的基本帧。

（2）RE的构成

频率：就一个15K带宽的子载波，载波频率为n*15K, n=1,2,3....周期为1/15K = 66.67us/n，频率越高，周期越小，传输一个完整波形的时间越小，相同时间内，传输的完整的波形就越多。因此恢复波形所需要的采样点就越多。
时域：0.5ms内传输7个RE, 每个RE传输与一个携带无效数据CP和一个携带有效数据的OFDM符号，平均时间为71.43us。
时域-有效数据：传输时间为66.7us，正好包含1....N个完整的载波的波形, 频率越高，包含的完整的波形的个数越多，N个波形称为一个符号symbol。

时域-CP：填充数据，是两个有效符号之间的空挡时间，是为了克服符号间的干扰（ISI）添加的。第0个OFDM符号CP长度约为5.2us；而其他6个OFDM符号CP长度约为4.7us；

(3) RE调度算法

3.6 OFDM子载波的复用与解复用

（1）复用

OFDM子载波的复用的复用就是通过简单的子载波的“累计和”获得：

$w(t) = y_{a}(t) + y_{b}(t) + ....... = x_{a}*cos(w_{a}t) + x_{b}*cos(w_{b}t) + ....$

并通过快速傅里叶逆变换获得“累计和”信号的离散信号表达式。

（2）解复用

由于OFDM子载波带宽重叠的特殊性，OFDM子载波的“解复用”也并不是通过简单的“频率滤波”实现的，

而是通过快速傅里叶变换获得。

第5章时域信号与频域信号

5.1 时域信号与频域信号的基本概念

时域波形：是信号外在的综合表现，时域波形是时间t为自变量，幅度或强度为因变量的可视化的图形展示。有时候也称为时域信号。

频域频谱：是信号内在的成分组成。频域频谱是组成的频率分量f为自变量，幅度或强度为因变量的可视化的图形展示。有时候也称为频率信号。

参考：

《信号与系统》解读第3章强大的傅里叶时域频域分析工具-1：深入理解信号的时域与频域，需要从熟悉的声音信号入手

《信号与系统》解读第3章强大的傅里叶时域频域分析工具-1：深入理解信号的时域与频域，需要从熟悉的声音信号入手_文火冰糖的硅基工坊的博客-CSDN博客_声音信号的傅里叶分析

结论：

频域与时域其实是分析同一信号的两个不同的方面，并不是两种不同类型的信号。

5.2 时域与频域转换的数学工具：傅里叶分析法

频谱分析：是一种将复杂信号分解为较简单信号的技术。许多物理信号均可以表示为许多不同频率简单信号的和。

找出一个信号在不同频率下的信息（如振幅、功率、强度或相位等）的做法即为频谱分析。

傅里叶分析方法：时域到频域的转换、时域到频率转换的强大数学工具！是信号与系统中几大基本分析工具之一。

傅里叶分析理论基础：任何信号，都可以表示为不同频率的复指数信号（正弦信号）的无限叠加！

包括：连续周期信号、离散周期信号、连续非周期信号、离散非周期信号。
傅里叶分析说明：：不同频率的信号复用在一起，然后再分开是可行的，可实现的，可量化的！！！

（1）强大的时域和频域分析能力

不同时域信号内部的频率组成是不一样的，通过统一的傅里叶变换数学工具，可以分析任何时域信号的内部频率组成。

（2）强大的信号合成与分解能力

可以把任何时域信号分解成频域的不同频率的信号，也可以把频域的不同的频率的信号合成为任意的时域信号。

（3）精确的量化能力

傅里叶不仅仅能否分析时域信号内含多少频率分量F(t)，还能够分析不同频率分量的幅度A（t）和相位P（t）。

频率分量、幅度分量、相位分量，可能是离散的，也可能是连续的！完全精确量化！

傅里叶分析法的强大的威力在于：

（1）调制+复用（傅里叶逆变换）：可以利用无数个不同频率、幅度、相位的正交的正弦/余弦波（复指数幅度调制），复用（线性相加）成任意的时域波形。

（2）解复用+解调（傅里叶变换）：在不需要先进行单载波滤波的情况下，能够把任意的时域波形，还原成无数个不同频率、幅度、相位的正交的正弦/余弦波（解复用），并获得不同谐波分量的频率、幅度信息（复指数幅度积分解调）。

5.3 案例

示例1：

蓝色的线：是不同频率分量的信号的各自的频率以及他们各自的幅度。

红色的线：是不用频率分量的信号的混合后的信号。

示例2：方波信号

方波信号由不同的频率、不同幅度的正弦波组成。

矩形脉冲：持续持续时间越短，能量密度越大，主瓣上的频率分量越多。

在模拟调制时，实际上是把每个频率分量都调制到高频载波上。但高频分量越高，对载波信号的频率要求就越高。

载波的频率越高，可以调制的基带信号的内含的频率分量就越多。

第6章 OFDM子载波复用的实现：快速傅里叶逆变换

6.1 OFDM复用的基本模型

任何时域波形，都可以表达成

$y(t) =A0 * e^{j*0*15K*t} + A1 * e^{j*1*15K*t} +.... +A(n-1)* e^{j*(n-1))*15K*t}$

令 $x=e^{j*15K*t}$ ，则得到时域信号的多项式表达：

$y(x) =A_{0} * x^0 + A_{1} * x^1 +.... + A_{n-1}* x^{n-1}$

$y(x) = A_{n-1}* x^{n-1} + ..... A_{1} * x^1 + A_{0}*x^0$

其中， $A_{n-1}, A_{n-2},.....A_{0}$ 是n个已知数（QAM或PSK调制的结果）

（1）合成后信号y(x）是所有频率分量信号的叠加

（2）最大的频率分量为小区带宽，如20M.

（3）复用后的模拟信号是时域信号，随着时间t的变化而变化。

备注：

（1）I路和Q路在基带一侧是单独在频域进行简单的幅度调制。

（2）I路和Q路在基带一侧就是简单的幅度调制Ax*cos（n*wt）

（3）I路和Q路在基带一侧是单独进行OFDM复用的，分别生成I路和Q路的时域信号，只有I路和Q路合并后，才是QAM调制的时域波形。

（4）I路和Q路的复用是在RF侧完成的，也就是说，OFDM是夹在QAM调制与IQ调制之间的，也就是说，QAM的星座图映射在基带一侧完成，而QAM调制后的时域波形（幅度和相位受控）在是RF侧成形的！！

之所可以这样做，是因为傅里叶变换遵循线性变换！！！但这就导致理解上的一大障碍！！！

6.2 OFDM复用后信号的频谱

频域子载波的实际个数：取决于基带载波带宽，20M: 1200个; 10: 600个， 5M: 300个......

频域子载波的幅度：取决于PSK或QAM调制的幅度映射。

频谱子载波虚拟个数：2^N个，1200 -》 2048个子载波，快速傅里叶逆变换的要求。

6.3 OFDM复用后信号的时域波形

（1）OFDM信号的时间长度：取决于15K子载波基波信号的周期。

即包含一个完整周期的15K子载波信号，但可以包含N各完整周期的谐波子载波，

除了包含完整周期的子载波信号，还预留了一段CP时间。

如下下图所示。

（2）OFDM信号的时域波形

一个OFDM时域信号的时长，与15K基波信号的周期一致:

是一个完整周期的基波信号与N个谐波信号的叠加，每个谐波分量，又包含N个完整周期。

下图是多个连续时间点的OFDM时域信号组成的时域信号波形示意图：

6.4 模拟信号的离散化：采样定理

在数字信号处理领域中，采样是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。

采样是指用每隔一定时间的信号样值序列来代替原来在时间上连续的信号，也就是在时间上将模拟信号离散化。

把连续信号转换成离散信号的过程称为采样过程（sampling process），这一过程是通过采样开关(采样器)实现的。

每秒钟的采样样本数叫做采样频率。

采样是将时间上、幅值上都连续的模拟信号，在采样脉冲的作用，转换成时间上离散（时间上有固定间隔）、但幅值上仍连续的离散模拟信号。所以采样又称为波形的离散化过程。

采样频率越高，数字化后离散波形就越接近于原来的波形，即基带信号的保真度越高，但量化后基带信息量的存储量也越大。
根据奈奎斯特采样定理，如果用离散信号表达非周期连续信号，采样频率至少是被采样带宽的2倍，被采样信号的带宽，是时域信内含的最高频率分量的频率的2倍。

按照采用定理，20M带宽的信号，采样频率》 20M * 2 =40M

6.5 OFDM信号的时域信号的离散化

（1）快速傅里叶逆变换后时域信号采样点的个数

OFDM时域信号的采样点并非由奈奎斯特采样定理决定，而是由快速傅里叶变换FFT决定。

需要注意的是：OFDM的时域信号，不仅仅包含用于FFT运算的有效数据信号的采样点，还包含CP的采样点。

上图中的采样点的个数，仅仅是FFT运算的采样点的个数，不包括CP时域信号的采样点。

采样点的个数：20M带宽时，在66.67us时间内，有2048个采样点。

采样率：20M带宽时，采用率为30.72M=15K * 2048；其中15K为频率，表示1s中有15K个完整的波形， 2048为一个完整波形内有2048个采样点。

（2）每个采样点的量化比特数

I路 = 15比特

Q路 = 15比特

总比特= 30比特

（3）IQ链路有效带宽

单天线，20M带宽时：IQ带宽=30.72M * 30 =0.92G ~=1G

4天线，20M带宽时：IQ带宽=30.72M * 30 * 4 =0.92G * 4 ~= 4G

8天线，20M带宽时：IQ带宽=30.72M * 30 * 8 =0.92G * 4 ~= 8G

6.6 快速傅里叶逆变换的模型

6.7 快速傅里叶逆变换：采样点数值的快速计算

（1）计算过程

任何时域波形，都可以表达成 $y(t) =A0 * e^{j*0*15K*t} + A0 * e^{j*1*15K*t} +.... +A(n-1)* e^{j*(n-1))*15K*t}$

令 $x=e^{j*15K*t}$ ，则得到时域信号的多项式表达：

$y(x) =A_{0} * x^0 + A_{1} * x^1 +.... + A_{n-1}* x^{n-1}$

$y(x) = A_{n-1}* x^{n-1} + ..... A_{1} * x^1 + A_{0}*x^0$

其中， $A_{n-1}, A_{n-2},.....A_{0}$ 是n个已知数（QAM或PSK调制的结果）

快速傅里叶逆变换IFFT的过程，就是按照快速傅里叶变换FFT的要求，构建一个N次多项式表达时域波形，并且同N个采样点代表该时域波形，

如下图所示：

$y(0) = A_{n-1}* X0^{n-1} + ..... A_{1} * X0^1 + A_{0}*X0^0$

$y(1) = A_{n-1}* X1^{n-1} + ..... A_{1} * X1^1 + A_{0}*X1^0$

$y(2) = A_{n-1}*X2^{n-1} + ..... A_{1} * x2^1 + A_{0}*x2^0$

......

$y(m)= A_{n-1}* Xm^{n-1} + ..... A_{1} * Xm^1 + A_{0}*Xm^0$

当An-1, An-2......A1，A0已知时：

$y(x) =A_{0} * x^0 + A_{1} * x^1 +.... + A_{n-1}* x^{n-1}$ 就是一个确定性的函数，其中 $x=e^{j*15K*t}$

假设采样周期为Ts，则t=Ts, 2Ts, 3Ts......(n-1)Ts时，就可以得到函数y(x)的采样点(Xn-1, Yn-1）， (Xn-2,Yn-2），......(X1，Y1), (X0, Y0).

每个采样点的值，完全由取决于An-1, An-2......A1，A0的值，

An-1, An-2......A1，A0值实际上，就是各个子载波的幅度值，由各个子载波的QAM调制映射值决定。

因此，OFDM时域信号采样点的值，完全取决于各个子载波的QAM或PSK调制后的幅度值！！！

备注：I路和Q路是单独计算的！

（2）计算量

一个采样点的计算量为多项式乘法运算和加法运算，记录为M = N^2个乘法运算，N-1个加法运算。
一个采样点的计算量取决于多项式的最高次数，=》取决于子载波个个数 =》取决于带宽。带宽越大，一个采样点的计算量越大。
一次OFDM映射，总的计算量 = N采样点个数 * 一个采样点的计算量。

从上述描述可以知道，傅里叶逆变化的计算量还是相当巨大的，需要有专门的DSP进行处理。

第7章 OFDM子载波解复用的实现

7.1 快速傅里叶变换的模型

由于OFDM子载波带宽重叠的特殊性，OFDM子载波的“解复用”也并不是通过简单的“频率滤波”实现的，

根据OFDM I路和Q路时域信号的采样点，还原OFDM I路和Q路的信号。

并根据OFDM I路和Q路时域信号的采样点，来反向计算出I路和Q路中各个子载波的幅度信息。

7.2 快速傅里叶变换的计算过程

任何时域波形，都可以表达成 $y(t) =A0 * e^{j*0*15K*t} + A0 * e^{j*1*15K*t} +.... +A(n-1)* e^{j*(n-1))*15K*t}$

令 $x=e^{j*15K*t}$ ，则得到时域信号的多项式表达：

$y(x) =A_{0} * x^0 + A_{1} * x^1 +.... + A_{n-1}* x^{n-1}$

$y(x) = A_{n-1}* x^{n-1} + ..... A_{1} * x^1 + A_{0}*x^0$

其中， $A_{n-1}, A_{n-2},.....A_{0}$ 是n个未知数。

如果能够求出 $A_{n-1}, A_{n-2},.....A_{0}$ , 这n个未知数，就需要时域波形的n个点，{（x0,y0），（（x1,y1），（x2,y2）.....(xn,yn) }

有这n个点的对应关系，就能够求出多项式的参数 $A_{n-1}, A_{n-2},.....A_{0}$ 。

而这n个点.(xi,yi），就是一个符号周期内的时域的采样点，其中xi离散的采样时间，yi为某一时间对应的采样幅度值。

$y(0) = A_{n-1}* X0^{n-1} + ..... A_{1} * X0^1 + A_{0}*X0^0$

$y(1) = A_{n-1}* X1^{n-1} + ..... A_{1} * X1^1 + A_{0}*X1^0$

$y(2) = A_{n-1}*X2^{n-1} + ..... A_{1} * x2^1 + A_{0}*x2^0$

......

$y(m)= A_{n-1}* Xm^{n-1} + ..... A_{1} * Xm^1 + A_{0}*Xm^0$

当m=n-1，就是n个采样点，通过计算方程组，就可以得到N次多项式的N个系数。

上述过程，就是快速傅里叶变换的过程。

很显然，快速傅里叶变换，能够通过N采样点，就可能够轻松的、快速的、获取通过N次多项式表达时域波形的N个多项式的系数。

上述过程，也是OFDM的“解复用”过程！

这里会得到一个神奇的结果：

20M的LTE带宽的时域波形，只需要2048个采样点，采样率为15K * 2048 = 30.72M < 40M, 就可以还原出时域信号中每个频率分量以及对应的幅度，这是快速傅里叶变换带来的优势。

快速傅里叶变换有一个前提条件：

组成时域波形的N个谐波频率，能够组成N次多项式的关系，即能够用N次多项式表达时域波形。

看到这里，还还看到一个奇怪的现象，就是20M的LTE带宽, 子载波1333个，即只有1200个参数，为什么这里有2048个采样点呢？即2048个子载波？

这是快速傅里叶变换FFT本身的要求，它要求多项式的次数必须是 $2^{n}-1$ ，即要求有 $2^{n}$ 个系数, 1333个子载波，扩展成了2048.

多出来的子载波怎么办？如何处理它们？

快速傅里叶逆变换FFT调制复用时，为这些多余的子载波，指定它们的系数恒为0值。
快速傅里叶变换FFT解调解复用时，计算出来的这些多余的系数全部忽略。

注意：

解复用的过程本质上是一个解方程组的过程！！！

解复用的过程，就是一个计算各个IQ正交子载波幅度的过程。

一旦获得每个正交子载波的幅度，就可以进行QAM或PSK解调，还原出子载波代表的二进制比特数。

第8章 OFDM的特点

8.1 OFDM的优点

（1）在相同的带宽条件下，子载波的重叠，提升生了每个子载波的调制信号的带宽，提升了每个子载波传输的波特率，提升了每个子载波携带的二进制数据的比特率。从而提升了整个传输带宽的比特率。相对与FDM，提升了一倍。

（2）在相同的带宽条件下，每个子载波不需要留有空隙，进一步提升了频谱利用率。

手拉手 =》紧挨在一起

（3）抗码间干扰（ISI）能力强：不同二进制码的发送，是并行分布在各个子载波上的，各个子载波严格的正交性，克服了子载波的干扰。抗码间干扰（ISI）能力得到了很大的提升。

（4）对抗频率选择性衰落

（5）分布式调度

通过较大的带宽，并行调制多路信号，下行1200个子载波，能够为多个用户动态复用，每个用户的二进制数据，可以并行调制在1200子载波上，极大的提升了单用户的数据传输的速率，LTE下行可以达到100M, LTE-advance可以达到1G.

8.2 OFDM的缺点：“频谱重叠”需要付出的代价

（1）对频偏和相位噪声比较敏感

OFDM技术区分各个子信道的方法是利用各个子载波之间严格的正交性。

频偏和相位噪声会使各个子载波之间的正交特性恶化，各个子载波已调信号的重叠的频谱就会产生严重的干扰，仅仅1％的频偏就会使信噪比下降30dB。

因此，OFDM系统对频偏和相位噪声比较敏感。这对发送端的基带载波频率和相位的精度提出了很高的要求。

相同的信噪比时，不用的频偏，误码率相差非常大。

（2）功率峰值与均值比（PAPR）大

与单载波系统相比，由于OFDM信号是由多个独立的经过调制的子载波信号相加而成的，虽然，不同的子载波其频率不同，这样的合成信号就有可能产生比较大的峰值功率，也就会带来较大的峰值均值功率比，简称峰均值比。

如下图左图所示：

对于包含N个子信道的OFDM系统来说，当N个子信道都以相同的相位求和时，所得到的峰值功率就是均值功率的N倍。

当然这是一种非常极端的情况，是在某个时刻，大部分谐波分量的幅度都是正数或负数叠加而成的，在大部分的时间点，不同频率的幅度正有负，可以相互抵消，因此，通常OFDM系统内的峰均值不会达到这样高的程度。

高峰均值比会增大对射频放大器的要求，导致需要支持的最大发送功率的门限也比较高，提高了设备的硬件复杂度和成本，同时导致射频信号放大器的功率效率降低。

因此OFDM调制只用于基站一侧，而不用于手机一侧，即只用于下行方向。当然，在下行方向，手机是接收，受高峰均值的影响不大。

第9章 IQ复指数调制回顾

9.1 什么是复指数信号

（1）复指数载波信号

欧拉公式，世界上最完美的公式

9.2 复指数调制信号

（1）复数形式

Z= a + i*b；或 Z(a,b) 。

Z= r*cosθ+ i*r*sinθ 或 Z (r, θ)。

相当于一个延时的脉冲信号：

幅度值：恒定，为调制后信号的幅度
延时值：恒定，为调制后信号的角度

（2）时域形式

幅度A: 恒定，为调制后信号的幅度

相位θ: 恒定，为调制后信号的角度

建立起来了复数信号幅度、相位与时域信号幅度、延时的关系。

9.3 复指数信号调制

（1）根据16QAM的映射规则，得到I路的幅度和Q路的幅度为（A.i, A.q）=（+3，+3）

（2）QAM映射转换成复指数形式（调制信号的复数形式）： $x(t) = 3\sqrt{2}e^{j*\frac{\pi}{4}}$ ，这是一个幅度和角度都不随时间变化的向量，幅度恒定为 $3\sqrt{2}$ ，角度恒定为 $\pi/4$ 。

相当于一个延时的脉冲信号：

幅度值：为调制后信号的幅度
延时值：为调制后信号的角度

（3）复指数载波信号（载波信号的复数形式）： $c(t) = e^{jwt}$

（4）用QAM映射对复指数载波进行调制： $y(t) = x(t) * c(t) = 3\sqrt{2}*e^{j*\frac{\pi}{4}} * e^{jwt} = 3\sqrt{2}*e^{j*(wt+\frac{\pi}{4})} = 3\sqrt[]{2} * cos(wt+\pi/4)$

（5）假设载波频率ω= 2πf = 2π*15K.

因此，0000对应的已调时域波形 $y = 3\sqrt[]{2} * cos(w*t+\pi/4)$ ，其中幅度 $A=3\sqrt[]{2}$ ，频率 $\small w=2\pi*f=2\pi*15K$ , 初始相位 $\theta0=\pi/4$ .。

同理，1111对应的已调时域波形 $y = \sqrt[]{2} * cos(w*t+3\pi/4)$ ，其中幅度 $A=\sqrt[]{2}$ ，频率 $w=2\pi*f=2\pi*15K$ , 初始相位 $\theta0=3\pi/4$ .。

相比于三角函数的运算，复数的数学运算简单。

9.4 解调：复指数积分

（1）复指数解调

已调信号： $y(t) = x(t) * c(t) = 3\sqrt{2}*e^{j*\frac{\pi}{4}} * e^{jwt} = 3\sqrt{2}*e^{j*(wt+\frac{\pi}{4})}$
解调的复指数载波信号： $c(t) = e^{-jwt}$
用复指数相乘

x(t) = f(t)*ct(t)

$x(t) = 3\sqrt{2}*e^{j*(wt+\frac{\pi}{4})} * e^{-jwt}$

$x(t) = 3\sqrt{2}*e^{j*(wt+\frac{\pi}{4}-wt)}$ //调制信号wt与载波信号-wt相抵消

$x(t) = 3\sqrt{2}*e^{j*\frac{\pi}{4}}$

$x(t) = 3\sqrt{2}*cos(\frac{\pi}{4}) + i*3\sqrt{2}*sin(\frac{\pi}{4})$

用积分求幅度

$A(t) = \frac{1}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi} x(t)$

$A.i = 3\sqrt{2}*cos(\frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2} = 3$

$A.q = 3\sqrt{2}*sin(\frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2} = 3$

（2）放大：复指数是，积分不需要放大

（3）得到解调后(I,Q)幅度为：（A.i, A.q）=（+3，+3）

（4）QAM解调映射判决为：二进制0000

9.5 复指数信号的特点

IQ双路载波调制是复指数在现代通信系统中最广泛的应用之一。
复指数运算明显比三角函数的运算简单、直观
上述的运算中，积分是乎是多余的，这是因为已调信号中，只包含调制的信号，不包含其他频率分量的信号
在OFDM多路复用时，已调信号中，不仅包含自身载波频率分量的信号，还包含其他正交频率分量的信号，这时候，积分的作用就非常明显了，可以过滤掉所有的与载波信号频率不一样的谐波分量！！！这是傅里叶变换的精华所在！！！
调制信号、载波信号、已调信号都是复指数函数（实际只有虚部）
相比与三角函数相乘的计算，复指数调制运算非常简单：只需要进行简单的加减运算。
调制信号的结果非常直观：已调信号的幅度变为r，已调信号的频率不变，已调信号的初始相位变为θ0。这不就是正交幅度调制QAM吗？！

详见：[4G&5G专题-45]：物理层-基带子载波数字调制解调（星座图, 相位调制PSK, 正交幅度相位调制QAM）

CSDN