多元复合函数的链式求导法则
理解多元复合函数
对于一个多元函数 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v) ，如果作为自变量的 u 、 v u、v u、v 均可用另一个函数来表示 ，那么多元函数 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v) 称为具有中间变量的多元复合函数。
其中，"复合"的关键在于
u
,
v
u,v
u,v 均可写成另一个函数的形式，例如：
u
=
ϕ
(
t
)
,
v
=
ψ
(
t
)
u=\phi(t),v=\psi(t)
u=ϕ(t),v=ψ(t)
则
z
=
f
(
u
,
v
)
z=f(u,v)
z=f(u,v) 可表示为
f
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
f(\phi(t),\psi(t))
f(ϕ(t),ψ(t))
此时，
u
,
v
u,v
u,v 就是多元复合函数的中间变量。
根据中间变量选择求导方式
根据中间变量的不同情况，我们可以选择不同的求偏导数的方式。
- 情况一：中间变量均为一元函数
例如，当 u = ϕ ( t ) , v = ψ ( t ) u=\phi(t),v=\psi(t) u=ϕ(t),v=ψ(t) 时， z = f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) z=f(\phi(t),\psi(t)) z=f(ϕ(t),ψ(t))，
z z z 对于 t t t 的偏导数为
d z d t = ∂ z ∂ u ⋅ d u d t + ∂ z ∂ v ⋅ d v d t \frac{dz}{dt}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot \frac{du}{dt}+\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\cdot \frac{dv}{dt} dtdz=∂u∂z⋅dtdu+∂v∂z⋅dtdv
- 情况二：中间变量均为多元函数
例如，当 u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) u=\phi(x,y),v=\psi(x,y) u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y) 时， z = f ( ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ) z=f(\phi(x,y),\psi(x,y)) z=f(ϕ(x,y),ψ(x,y))，
z
z
z 对于
x
,
y
x,y
x,y 的偏导数分别为
d
z
d
x
=
∂
z
∂
u
⋅
d
u
d
x
+
∂
z
∂
v
⋅
d
v
d
x
\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\cdot \frac{dv}{dx}
dxdz=∂u∂z⋅dxdu+∂v∂z⋅dxdv
d z d y = ∂ z ∂ u ⋅ d u d y + ∂ z ∂ v ⋅ d v d y \frac{dz}{dy}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot \frac{du}{dy}+\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\cdot \frac{dv}{dy} dydz=∂u∂z⋅dydu+∂v∂z⋅dydv
- 情况三：中间变量既有一元函数，又有多元函数
例如，当 u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( y ) u=\phi(x,y),v=\psi(y) u=ϕ(x,y),v=ψ(y) 时， z = f ( ϕ ( x , y ) , ψ ( y ) ) z=f(\phi(x,y),\psi(y)) z=f(ϕ(x,y),ψ(y))
因只有中间变量
u
u
u 含有自变量
x
x
x ，故
z
z
z 对于
x
x
x 的偏导数为
d
z
d
x
=
∂
z
∂
u
⋅
d
u
d
x
\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot \frac{du}{dx}
dxdz=∂u∂z⋅dxdu
因中间变量
u
,
v
u,v
u,v 均含有自变量
y
y
y ，故
z
z
z 对于
y
y
y 的偏导数为
d
z
d
y
=
∂
z
∂
u
⋅
d
u
d
y
+
∂
z
∂
v
⋅
d
v
d
y
\frac{dz}{dy}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\cdot \frac{du}{dy}+\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\cdot \frac{dv}{dy}
dydz=∂u∂z⋅dydu+∂v∂z⋅dydv