λ-矩阵

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λ-矩阵的多项式展开

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Smith标准形

定义. 对于 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, $\mathrm{rank}\mathbf{A}(\lambda )=r$, 称 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的全部 $1\le k\le r$ 阶子式的首1最大公因式为 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子, 记为$D_k(\lambda )$.

定理. 对$\lambda$-矩阵进行$\lambda$-矩阵的初等变换不改变其各阶行列式因子.

证明: 对于 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, $\mathrm{rank}\mathbf{A}(\lambda )=r$, 证明对调行/列, 数乘行/列, 一行/列乘多项式加到另一行/列这三种初等变换操作均不改变其各阶行列式因子.

（1）对调行：设对调 $\mathbf{A}(\lambda )$ 第 $i$ 和 $j$ 两行, 得到 ${\mathbf{A}}^{\prime }(\lambda )$. 考虑 $1\le k\le r$ 阶子式 $D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$,（表示选取 $i_1,...,i_k$ 行, $j_1,...,j_k$ 列）, 若 $i_1,...,i_k$ 取值不包含 $i,j$, 则 $D^{\prime }(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)=D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$, 若 $i_1,...,i_k$ 取值同时包含 $i,j$, 则 $D^{\prime }(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)=(-1)D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$, 若 $i_1,...,i_k$ 取值包含 $i$ 而不包含 $j$, 设除 $i,j$ 外其他行号为 $s_1,s_2...,s_{k-1}$, 则 $D^{\prime }(i,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)=(-1)D(j,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)$, 同时 $D^{\prime }(j,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)=(-1)D(i,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)$, 即在忽略符号的前提下 $D(i,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)$ 和 $D(j,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)$ 取值互换. 由此可知 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子不变.
同理，对调列操作也不改变其各阶行列式因子.
（2）数乘行：设对 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的第 $i$ 行数乘 $k\ne 0$, 得到 ${\mathbf{A}}^{\prime }(\lambda )$. 考虑 $1\le k\le r$ 阶子式 $D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$，若 $i_1,...,i_k$ 取值不包含 $i$, 则 $D^{\prime }(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)=D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$, 若$i_1,...,i_k$ 取值包含 $i$, 则 $D^{\prime }(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)=kD(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$, 乘常数, 由此可知 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子不变.
同理，数乘列操作也不改变其各阶行列式因子.
（3）一行乘多项式加到另一行：设对 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的第 $j$ 行数乘多项式 $\varphi (\lambda )$ 加到第 $i$ 行, 得到 ${\mathbf{A}}^{\prime }(\lambda )$. 考虑 $1\le k\le r$ 阶子式 $D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$, 若 $i_1,...,i_k$ 取值同时包含 $i,j$ 或不包含 $i$, 则 $D^{\prime }(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)=D(i_1,...,i_k;j_1,...,j_k)$, 若 $i_1,...,i_k$ 取值包含 $i$ 而不包含 $j$, 设除 $i,j$ 外其他行号为 $s_1,s_2...,s_{k-1}$, 则 $D^{\prime }(i,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)=D(i,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)+(-1)\varphi (\lambda )D(j,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)$, 设 $\mathbf{A}(\lambda )$, ${\mathbf{A}}^{\prime }(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子分别为 $D_k^{\prime }(\lambda )$, $D_k^{\prime }(\lambda )$, 则 $D_k(\lambda )|D_k^{\prime }(i,s_1,...,s_{k-1};j_1,...,j_k)$, 因此 $D_k(\lambda )$ 整除所有${\mathbf{A}}^{\prime }(\lambda )$ 的 $k$ 阶子式, $D_k(\lambda )|D_k^{\prime }(\lambda )$. 初等变换是可逆的, 反过来, ${\mathbf{A}}^{\prime }(\lambda )$ 的第 $j$ 行数乘 $-\varphi (\lambda )$ 加到第 $i$ 行可得到 $\mathbf{A}(\lambda )$, 同理可知 $D_k^{\prime }(\lambda )|D_k(\lambda )$. 由此可知 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子不变.
同理，一列乘多项式加到另一列不改变其各阶行列式因子.

因此对于 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, $\mathrm{rank}\mathbf{A}(\lambda )=r$, 初等变换不改变其各阶行列式因子.

这一定理还可以这样表述: 相抵的 $\lambda$-矩阵各阶行列式因子相同.

定理. 对于 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, 存在唯一的 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵 $\mathbf{S}(\lambda )$ 满足:

S ( λ ) = d i a g { d 1 ( λ ) , . . . , d r ( λ ) , 0 , . . . , 0 } ≃ A ( λ ) \mathbf{S}(\lambda)=\mathrm{diag} \{d_1(λ), ..., d_r(λ), 0, ..., 0\} \simeq \mathbf{A}(λ) S(λ)=diag{d1​(λ),...,dr​(λ),0,...,0}≃A(λ)

其中 $d_i(\lambda )$ 是首项系数为 $1$ 的多项式，且 $d_{i-1}(\lambda )$ 能整除 $d_i(\lambda )$, $i=2,...,r$.

证明:

存在性:

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唯一性:

证明: 下面证明 $\mathbf{S}(\lambda )$ 满足如下性质:

(1) $r=\mathrm{rank}\mathbf{S}(\lambda )=\mathrm{rank}\mathbf{A}(\lambda )$.

(2) $\mathbf{A}(\lambda )$ 的各阶行列式因子 $D_1(\lambda ),...,D_r(\lambda )$ 和 $\mathbf{S}(\lambda )$ 的非零对角元 $d_1(\lambda ),...,d_r(\lambda )$ 之间满足如下关系: $D_1(\lambda )=d_1(\lambda )$; $D_2(\lambda )=d_1(\lambda )d_2(\lambda )$, …, $D_r(\lambda )=d_1(\lambda )d_2(\lambda )...d_r(\lambda )$, 亦即:
$$d_i(\lambda )=\{\begin{array}{ll}{D}_1(\lambda )& \text{ if }i=1\\ D_i(\lambda )/D_{i-1}(\lambda )& \text{ if }2\le i\le r\end{array}$$

(1)的证明: 初等变换不改变$\lambda$-矩阵的秩, 因此 $\mathrm{rank}\mathbf{S}(\lambda )=\mathrm{rank}\mathbf{A}(\lambda )=r$.

(2)的证明：因为 $\mathbf{S}(\lambda )$ 和 $\mathbf{A}(\lambda )$ 相抵, 因此具有相同的各阶行列式因子. 考虑 $\mathbf{S}(\lambda )$ 的 $1\le k\le r$ 阶行列式因子: 选取第 $1$ ~ $k$ 行第 $1$ ~ $k$ 列的子式, 其值为 ${\Pi }_{i=1}^k{d}_i(\lambda )$, 易证其必然可以整除 $\mathbf{S}(\lambda )$ 其他 $k$ 阶子式, 且首项系数为 $1$, 因此为所有 $k$ 阶子式的首1最大公因式, 即 $k$ 阶行列式因子, 因此 $D_k(\lambda )={\Pi }_{i=1}^k{d}_i(\lambda )$.

若还存在一个相异的满足条件的$\lambda$-矩阵 ${\mathbf{S}}^{\prime }(\lambda )$, 则 ${\mathbf{S}}^{\prime }(\lambda )$ 和 $\mathbf{S}(\lambda )$ 有相同的非零对角元个数和非零对角元取值, 进而 ${\mathbf{S}}^{\prime }(\lambda )=\mathbf{S}(\lambda )$, 矛盾. 因此 $\mathbf{S}(\lambda )$ 是唯一的满足此条件的矩阵.

可以得到上述结论(2)的一个推论: $D_k(\lambda )$ 和 $d_k(\lambda )$ 有相同的零点集(考虑多项式根的重复), $1\le k\le r$.

称上述的 $\mathbf{S}(\lambda )$ 为 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的Smith标准形. 称 $d_i(\lambda )$, $1\le i\le n$ 为$\mathbf{A}(\lambda )$ 的第 $i$ 个不变因子. 设 $d_r(\lambda )$ 的零点集为 { λ j } j = 1 s \{\lambda_j\}_{j=1}^{s} {λj​}j=1s​, 则不变因子组可以表示成如下形式：

$$d_1(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{11}}...(\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{1s}}$$
$$⋮$$
$$d_r(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{r1}}...(\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{rs}}$$

其中, $0\le e_{1j}\le e_{2j}\le ...\le e_{rj}$, $e_{rj}\ne 0$, $j=1,...,s$.

其中 $d_1(\lambda )$ ~ $d_r(\lambda )$ 的所有非零阶因子(不考虑重复), 即 $(\lambda -{\lambda }_j{)}^{e_{ij}}$, $e_{ij}\ne 0$, $i=1,...,r$ , $j=1,...,s$ 统称为 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的初等因子.

Smith标准形, 不变因子, 初等因子, 各阶行列式因子已知其一可写出其他三个.

定理. 两个方阵有相同的Smith标准形 $⟺$ 有相同的不变因子 $⟺$有相同的初等因子 $⟺$ 有相同的各阶行列式因子.

定理. 方阵相抵$⟺$有相同的Smith标准形.

证明: 若 $\mathbf{A}(\lambda )$, $\mathbf{B}(\lambda )$ 是相抵的方阵, 则由相抵的传递性, $\mathbf{A}(\lambda )$ 相抵于 $\mathbf{B}(\lambda )$ 的Smith标准形, 进而 $\mathbf{B}(\lambda )$ 的Smith标准形也是 $\mathbf{B}(\lambda )$ 的Smith标准形, 二者具有相同的Smith标准形. 反之, 由相抵的传递性可知, 有相同的Smith标准形的方阵是相抵的.

定理. 对于分块对角方阵 A ( λ ) = d i a g { A 1 ( λ ) , . . . , A r ( λ ) } \mathbf{A}(λ)=\mathrm{diag}\{\mathbf{A}_{1}(λ), ..., \mathbf{A}_{r}(λ)\} A(λ)=diag{A1​(λ),...,Ar​(λ)}, 其中每个分块均为方阵, ${\mathbf{A}}_1(\lambda ),...,{\mathbf{A}}_r(\lambda )$ 的初等因子的并集构成 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的初等因子.

证明: 考虑有2个分块阵的情况: A ( λ ) = d i a g { A 1 ( λ ) , A 2 ( λ ) } \mathbf{A}(\lambda)=\mathrm{diag}\{\mathbf{A}_{1}(\lambda), \mathbf{A}_{2}(\lambda)\} A(λ)=diag{A1​(λ),A2​(λ)}. ${\mathbf{A}}_1(\lambda )$ 的秩记为 $r_1$, ${\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 的秩记为 $r_2$, 分块阵的秩等于各块的秩之和, 因此 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的秩为 $r_1+r_2$. ${\mathbf{A}}_1(\lambda ),{\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 的 Smith 标准形记为
$${\mathbf{A}}_1(\lambda )\simeq {\left[\begin{array}{cccccccc}{d}_1^{(1)}(\lambda )& & & & & & & \\ & d_2^{(1)}(\lambda )& & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & & & d_{r_1}^{(1)}(\lambda )& & & \\ & & & & & 0& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0\end{array}\right]}_{N_1\times N_1}$$

$${\mathbf{A}}_2(\lambda )\simeq {\left[\begin{array}{cccccccc}{d}_1^{(2)}(\lambda )& & & & & & & \\ & d_2^{(2)}(\lambda )& & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & & & d_{r_2}^{(2)}(\lambda )& & & \\ & & & & & 0& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0\end{array}\right]}_{N_2\times N_2}$$

则

$$\mathbf{A}(\lambda )\simeq {\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{A}}_1(\lambda )& & \\ & {\mathbf{A}}_2(\lambda )& \\ & & 0\end{array}\right]}_{(N_1+N_2)\times (N_1+N_2)}={\left[\begin{array}{cccccccccc}{d}_1^{(1)}(\lambda )& & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & \\ & & & d_{r_1}^{(1)}(\lambda )& & & & & & \\ & & & & d_1^{(2)}(\lambda )& & & & & \\ & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & & & d_{r_2}^{(2)}(\lambda )& & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & 0\end{array}\right]}_{(N_1+N_2)\times (N_1+N_2)}\equiv {\mathbf{K}}_{\mathbf{A}}(\lambda )$$
$\mathbf{A}$ 的 Smith 标准形记为
$${\mathbf{S}}_{\mathbf{A}}(\lambda )={\left[\begin{array}{cccccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & & & \\ & d_2(\lambda )& & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & & & d_r(\lambda )& & & \\ & & & & & 0& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0\end{array}\right]}_{(N_1+N_2)\times (N_1+N_2)}$$

其中 $r=r_1+r_2$

${\mathbf{A}}_1(\lambda ),{\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 所有初等因子都是 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的初等因子: 设 ${\mathbf{A}}_1(\lambda ),{\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 的初等因子的根构成的集合是 { λ i } i = 1 s \{\lambda_{i}\}_{i=1}^{s} {λi​}i=1s​. 对于 ${\lambda }_i$, $1\le i\le s$, 分别对 $d_1^{(1)}(\lambda ),\dots ,d_{r_1}^{(1)}(\lambda ),d_1^{(2)}(\lambda ),\dots ,d_{r_2}^{(2)}(\lambda )$ 中 $(\lambda -{\lambda }_i)$ 的次数按照由低到高进行排序(若不含此项则次数记为 $0$), 记排序结果为 $c_{i1}\le \cdots \le c_{ir}$. 相抵的矩阵具有相同的各阶行列式因子, 因此 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的各阶行列式因子等于 ${\mathbf{K}}_{\mathbf{A}}(\lambda )$ 的各阶行列式因子, 考虑 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子 $D_k(\lambda )$, $1\le k\le r$, 其等于 ${\mathbf{K}}_{\mathbf{A}}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子, 显然 ${\mathbf{K}}_{\mathbf{A}}(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子中 $(\lambda -{\lambda }_i)$ 的次数为 $\sum _{s=1}^k{c}_{is}$, 因此 $d_1(\lambda ),...,d_r(\lambda )$ 中 $(\lambda -{\lambda }_i)$ 的次数分别为 $c_{i1},\dots ,c_{ir}$, 因此 ${\mathbf{A}}_1(\lambda ),{\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 的 $(\lambda -{\lambda }_i)$ 幂次形式的初等因子都是 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的初等因子.

$\mathbf{A}(\lambda )$ 不会有除 ${\mathbf{A}}_1(\lambda ),{\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 的初等因子外的其他初等因子: 由相抵关系的传递性可知 ${\mathbf{K}}_{\mathbf{A}}(\lambda )\simeq {\mathbf{S}}_{\mathbf{A}}(\lambda )$, 易证
$${\left[\begin{array}{ccccccc}{d}_1^{(1)}(\lambda )& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & & d_{r_1}^{(1)}(\lambda )& & & \\ & & & & d_1^{(2)}(\lambda )& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & d_{r_2}^{(2)}(\lambda )\end{array}\right]}_{(r_1+r_2)\times (r_1+r_2)}\simeq {\left[\begin{array}{cccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & \\ & d_2(\lambda )& & & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & & d_r(\lambda )\end{array}\right]}_{(r_1+r_2)\times (r_1+r_2)}$$
进而

$${\left|\begin{array}{ccccccc}{d}_1^{(1)}(\lambda )& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & & d_{r_1}^{(1)}(\lambda )& & & \\ & & & & d_1^{(2)}(\lambda )& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & d_{r_2}^{(2)}(\lambda )\end{array}\right|}_{(r_1+r_2)\times (r_1+r_2)}={\left|\begin{array}{cccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & \\ & d_2(\lambda )& & & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & & d_r(\lambda )\end{array}\right|}_{(r_1+r_2)\times (r_1+r_2)}$$

$${\Pi }_{i=1}^{r_1}{d}_i^{(1)}(\lambda ){\Pi }_{i=1}^{r_2}{d}_i^{(2)}(\lambda )={\Pi }_{i=1}^r{d}_i(\lambda )$$

${\mathbf{A}}_1(\lambda ),{\mathbf{A}}_2(\lambda )$ 的初等因子都是 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的初等因子, 因此 ${\Pi }_{i=1}^{r_1}{d}_i^{(1)}(\lambda ){\Pi }_{i=1}^{r_2}{d}_i^{(2)}(\lambda )\le {\Pi }_{i=1}^r{d}_i(\lambda )$, 若 $\mathbf{A}(\lambda )$ 含有除此以外的其他初等因子, 则必然 ${\Pi }_{i=1}^{r_1}{d}_i^{(1)}(\lambda ){\Pi }_{i=1}^{r_2}{d}_i^{(2)}(\lambda )<{\Pi }_{i=1}^r{d}_i(\lambda )$, 矛盾.

反复利用分块个数为2时的结论可将结论推广至任意有限多个分块.

Jordan标准形

定义. $n$ 阶数字矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $k$ ($1\le k\le \mathrm{rank}\mathbf{A}$) 个不变因子, $k$ 阶行列式因子与初等因子指特征矩阵 $\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}$ 的第 $k$ ($1\le k\le \mathrm{rank}\mathbf{A}$) 个不变因子, $k$ 阶行列式因子与初等因子.

由矩阵特征多项式的知识可知 $|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}|$ 为关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式, 且最高次项的系数为 $1$, 因此 $\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}$ 是满秩(秩为 $n$)的$\lambda$-矩阵, 进而可知其行列式因子的最高阶数为 $n$, 且第 $n$ 阶行列式因子 $D_n(\lambda )=|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}|$, 有 $k$ 个不变因子, 且第 $n$ 个不变因子的根集就是矩阵的特征值集(考虑多项式根的重复), 重数不一定相同.

定理. $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶$\lambda$-矩阵，则 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 的充要条件是 $(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})$ $\simeq$ $(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{B})$.

该定理建立了数字矩阵相似和特征矩阵相抵的等价关系.

证明: 链接

定理. Jordan 块

$$\mathbf{J}={\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_0& 1& & & \\ & {\lambda }_0& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & {\lambda }_0& 1\\ & & & & {\lambda }_0\end{array}\right]}_{r\times r}$$

的不变因子为: $d_1(\lambda )=1$, …, $d_{r-1}(\lambda )=1$, $d_r(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_0{)}^r$.

证明: 注意到划去第 $n$ 行第 $1$ 列的子式

$$\left|\begin{array}{cccc}1& & & \\ {\lambda }_0& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & {\lambda }_0& 1\end{array}\right|=1$$

因此 $D_{n-1}(\lambda )=1$, $D_n(\lambda )=|\mathbf{J}|=(\lambda -{\lambda }_0{)}^r$, 由此可知命题结论.

定理. 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶$\lambda$-矩阵, 若 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{J}$ 满足: J = d i a g { J 1 , . . . , J s } \mathbf{J}=\mathrm{diag}\{\mathbf{J}_1,...,\mathbf{J}_{s}\} J=diag{J1​,...,Js​}, 其中 ${\mathbf{J}}_i$ 是 Jordan 块
$${\mathbf{J}}_i={\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& & & \\ & {\lambda }_i& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & {\lambda }_i& 1\\ & & & & {\lambda }_i\end{array}\right]}_{n_i\times n_i}$$

且 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{n_i}$, $i=1,...,s$ 构成 $\mathbf{A}$ 的初等因子, 则 $\mathbf{J}$ 与 $\mathbf{A}$ 相似, 称之为 $\mathbf{A}$ 的一个 Jordan 标准形.

证明: 根据上一个定理, 易知 $\lambda \mathbf{I}-\mathbf{J}$ 与 $\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}$ 具有相同的初等因子, 因此 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{J}$ 相似.

如果不计 Jordan 块的排列顺序, 则 Jordan 标准形是唯一的.

定理. 相似矩阵具有相同的Jordan标准形(不计Jordan块的顺序).

证明: 对于相似两个矩阵, 二者具有相同的初等因子, 进而其Jordan标准形具有相同的Jordan块, 不计Jordan块的顺序的情况下可以认为它们具有相同的Jordan标准形.

定理. 若矩阵 $\mathbf{A}$ 与一个Jordan 块构成的矩阵 d i a g { J 1 , . . . , J s } \mathrm{diag}\{\mathbf{J}_1,...,\mathbf{J}_{s}\} diag{J1​,...,Js​}, 其中 ${\mathbf{J}}_i$ 是 Jordan 块, $i=1,...,s$ 相似, 则 $\mathbf{J}$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个 Jordan 标准形.

定理. $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶$\lambda$-矩阵，则 $\mathbf{A}$ 可相似对角化的充要条件是的 $\mathbf{A}$ 初等因子都是一次的.

证明: 必要性: $\mathbf{A}$ 可对角化, 因此存在一个对角阵 $\Lambda$ 与 $\mathbf{A}$ 相似. $\Lambda$ 可以看成是由 $n$ 个1阶Jordan块构成的Jordan矩阵, 因此 $\Lambda$ 是其自身的一个Jordan标准形, 进而可知 $\Lambda$ 的初等因子都是1次的. $\Lambda \sim \mathbf{A}$, 因此二者具有相同的初等因子, 进而 $\mathbf{A}$ 的初等因子都是1次的. 充分性: 由 $\mathbf{A}$ 的初等因子都是1次可知 $\mathbf{A}$ 的Jordan标准形都是由1阶Jordan块构成的, 是一个对角阵, $\mathbf{A}$ 相似于其 Jordan 标准形, 因此 $\mathbf{A}$ 可对角化.

零化多项式与最小多项式

定义. 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果存在多项式 $\varphi (\lambda )$ 使得 $\varphi (\mathbf{A})=0$, 则称 $\varphi (\lambda )$ 为 $\mathbf{A}$ 的零化多项式.

定义. $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的所有零化多项式中，次数最低且首项系数为 $1$ 的多项式称为 $\mathbf{A}$ 的最小多项式，记为 $m(\lambda )$.

定理. 设 $\varphi (\lambda )$ 是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的零化多项式, $m(\lambda )$ 是其最小多项式, 则 $\varphi (\lambda )$ 是 $m(\lambda )$ 的倍式, $m(\lambda )$ 是 $\varphi (\lambda )$ 的因式.

证明: 设 $\varphi (\lambda )$ 是零化多项式，则存在唯一的一组多项式 $p(\lambda )$ 和 $r(\lambda )$, 使得 $\varphi (\lambda )=p(\lambda )m(\lambda )+r(\lambda )$ 且 $\mathrm{deg}r(\lambda )<\mathrm{deg}m(\lambda )$. $\varphi (\mathbf{A})=m(\mathbf{A})=0$, 因此 $r(\mathbf{A})=0$, 若 $r(\lambda )\ne 0$, 则 $r(\lambda )$ 是次数低于 $m(\lambda )$ 的零化多项式, 这与 $m(\lambda )$ 是最小多项式矛盾, 因此 $r(\lambda )=0$. 由此可知, $\varphi (\lambda )$ 是 $m(\lambda )$ 的倍式, $m(\lambda )$ 是 $\varphi (\lambda )$ 的因式.

推论：最小多项式是唯一的.

证明: 若 $m_1(\lambda )\ne m_2(\lambda )$ 都是矩阵 $\mathbf{A}$ 的最小多项式, 根据最小多项式的定义, 其必然是同次的. 令 $\Delta m(\lambda )=m_1(\lambda )-m_2(\lambda )$, 因 $m_1(\lambda )$, $m_2(\lambda )$ 最高次项系数都为1, 因此相减后最高次项相消, $\mathrm{deg}\Delta m(\lambda )<\mathrm{deg}{m}_1(\lambda )$, 而 $\Delta m(\mathbf{A})=m_1(\mathbf{A})-m_2(\mathbf{A})=0$, 因此 $\Delta m(\mathbf{A})$ 也是 $\mathbf{A}$ 的零化多项式且次数更低, 矛盾.

推论. (1) 所有零化多项式都是最小多项式的倍式, 最小多项式是所有零化多项式的因式.
(2) 一个多项式是零化多项式的充要条件是: 其是最小多项式的倍式/最小多项式是其因式.
(3) 一个多项式是最小多项式的充要条件是: 首项系数为1; 是零化多项式; 其所有首1的真因式(真因式是指不等于自身的因式)都不是零化多项式.

证明: (1), (2) 略. (3): 充分性: 设 $f(\lambda )$ 满足所述条件. 由推论(1)可知, 最小多项式是 $f(\lambda )$ 的因式. 最小多项式又不是 $f(\lambda )$ 的真因式, 所以最小多项式必然是 $f(\lambda )$. 必要性: 设 $m(\lambda )$ 是最小多项式, 则 $m(\lambda )$ 是首1的零化多项式, 若存在 $m(\lambda )$ 的首1真因式 $m^{\prime }(\lambda )$ 为零化多项式, 则 $m^{\prime }(\lambda )$ 为次数更低的首1零化多项式, 这与 $m(\lambda )$ 是最小多项式矛盾, 因此 $m(\lambda )$ 的真因式都不是零化多项式.

定理. 分块矩阵 A = d i a g { A 1 , . . . , A s } \mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\mathbf{A}_1, ..., \mathbf{A}_s\} A=diag{A1​,...,As​} (每个分块为方阵) 的最小多项式是 $m_1(\lambda ),...,m_s(\lambda )$ 的首1最小公倍式, 其中 $m_1(\lambda ),...,m_s(\lambda )$ 分别为 ${\mathbf{A}}_1,...,{\mathbf{A}}_s$ 的最小多项式.

证明: 设多项式 $\varphi (\lambda )$ 为 $\mathbf{A}$ 的一个零化多项式, ϕ ( A ) = d i a g { ϕ ( A i ) } i = 1 s = 0 \phi(\mathbf{A})=\mathrm{diag} \{ \phi(\mathbf{A}_{i})\}_{i=1}^{s}=\mathbf{0} ϕ(A)=diag{ϕ(Ai​)}i=1s​=0, 因此 $\varphi (\lambda )$ 是 ${\mathbf{A}}_1,...,{\mathbf{A}}_s$ 的零化多项式, 进而可知 $\varphi (\lambda )$ 是 $m_1(\lambda ),...,m_s(\lambda )$ 的公倍式. 设 $m_1(\lambda ),...,m_s(\lambda )$ 的最小公倍式为 $f(\lambda )$, f ( A ) = d i a g { f ( A i ) } i = 1 s = 0 f(\mathbf{A})=\mathrm{diag} \{ f(\mathbf{A}_{i})\}_{i=1}^{s}=\mathbf{0} f(A)=diag{f(Ai​)}i=1s​=0, 因此 $f(\lambda )$ 是 $\mathbf{A}$ 的零化多项式, 显然 $\mathbf{A}$ 的所有零化多项式是 $f(\lambda )$ 的倍式, 所以 $f(\lambda )$ 是 $\mathbf{A}$ 的零化多项式中次数最低者, 且其首项系数为1, 因此其为 $\mathbf{A}$ 的最小多项式.

定理. 相似矩阵有相同的最小多项式.

证明: 设 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$, 则存在可逆阵 $\mathbf{P}$, 使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$. 将 $\mathbf{B}$ 代入 $\mathbf{A}$ 的最小多项式 $m_A(\lambda )$ 得：

$$m(\mathbf{B})={\mathbf{P}}^{-1}m(\mathbf{A})\mathbf{P}=0$$

因此 $m_A(\lambda )$ 是 $\mathbf{B}$ 的零化多项式, 同理, $\mathbf{B}$ 的最小多项式 $m_B(\lambda )$ 也是 $\mathbf{A}$ 的零化多项式. 因此$m_A(\lambda )$, $m_B(\lambda )$互为彼此的因式, 必然相等.

Hamilton-Cayley定理. 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 则 $\mathbf{A}$ 的特征多项式是 $\mathbf{A}$ 的一个零化多项式.

证明：设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为 $f(\lambda )=|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}|$. $(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{\ast }$ 的元素至多是 $n-1$ 次多项式, 因此其可以表示为

$$(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{\ast }={\mathbf{C}}_{n-1}{\lambda }^{n-1}+...+{\mathbf{C}}_1\lambda +{\mathbf{C}}_0$$

其中 ${\mathbf{C}}_{n-1},...,{\mathbf{C}}_1$ 为 $n$ 阶数字矩阵. 由伴随矩阵的性质可知

$$(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{\ast }=f(\lambda )\mathbf{I}$$

又设 $f(\lambda )=a_n{\lambda }^n+...+a_1\lambda +a_0$, 其中 $a_n=1$, 代入上式得

$$(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})({\mathbf{C}}_{n-1}{\lambda }^{n-1}+...+{\mathbf{C}}_1\lambda +{\mathbf{C}}_0)=a_n\mathbf{I}{\lambda }^n+...+a_0\mathbf{I}$$

等式左边整理得: ${\mathbf{C}}_{n-1}{\lambda }^n+({\mathbf{C}}_{n-2}-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{n-1}){\lambda }^{n-1}+...+({\mathbf{C}}_2-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_1)\lambda -\mathbf{A}{\mathbf{C}}_0$

对比等式两边的系数可知

$$\{\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_{n-1}& =\mathbf{I}\\ {\mathbf{C}}_{n-2}-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{n-1}& =a_{n-1}\mathbf{I}\\ ...& \\ {\mathbf{C}}_2-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_1& =a_1\mathbf{I}\\ -\mathbf{A}{\mathbf{C}}_0& =a_0\mathbf{I}\end{array}$$

进而有

$$f(\mathbf{A})=a_n{\mathbf{A}}^n+...+a_1\mathbf{A}+a_0\mathbf{I}={\mathbf{A}}^n+({\mathbf{C}}_{n-2}-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{n-1}){\mathbf{A}}^{n-1}+...+({\mathbf{C}}_2-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_1)\mathbf{A}-\mathbf{A}{\mathbf{C}}_0=0$$

定理. Jordan块
$$\mathbf{J}={\left[\begin{array}{ccccc}a& 1& & & \\ & a& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & a& 1\\ & & & & a\end{array}\right]}_{s\times s}$$

的最小多项式为 $\mathbf{J}=(\lambda -a{)}^s$.

证明: Jordan块 $\mathbf{J}$ 的特征多项式是 $(\lambda -a{)}^s$, 由于特征多项式是最小多项式的倍式, 因此最小多项式必然形如 $(\lambda -a{)}^k$, 其中 $1\le k\le s$. 从 $k=1$ 开始试, 直至 $(\mathbf{J}-a\mathbf{I}{)}^k=0$, 即可得出最小多项式. $$\mathbf{J}-a\mathbf{I}={\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ & 0& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0& 1\\ & & & & 0\end{array}\right]}_{s\times s}$$

可以验证, 右乘这个矩阵相当于矩阵第 $1\sim s-1$ 列整体向右移动一列, 第 $1$ 列以全 $0$ 填充, 因此直至 $k=s$ 时才会得到 $0$, 因此最小多项式是 $(\lambda -a{)}^s$.

定理. $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}$ 的最小多项式是 $\mathbf{A}$ 的第 $n$ 个不变因子.

证明: 设 ${\mathbf{J}}_{\mathbf{A}}$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个Jordan标准形, 则 $\mathbf{A}\sim {\mathbf{J}}_{\mathbf{A}}$, 进而 $\mathbf{A}$ 的最小多项式是 ${\mathbf{J}}_{\mathbf{A}}$ 的最小多项式. ${\mathbf{J}}_{\mathbf{A}}$ 的最小多项式是其中所有Jordan块的最小多项式的首1最小公倍式. ${\mathbf{J}}_{\mathbf{A}}$ 中每个Jordan块的最小多项式是 $\mathbf{A}$ 的一个初等因子, 显然其首1的最小公倍式为 $\mathbf{A}$ 的最后一个不变因子, 即第 $n$ 个不变因子.

推论. 最小多项式是特征多项式的子式, 且与之具有相同的零点集.

定理. $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}$ 可相似对角化的充要条件是 $m(\lambda )$ 无重零点.

证明: 必要性: $\mathbf{A}$ 相似于对角阵的充要条件是初等因子都是1次的, 因此第 $n$ 个不变因子 $d_n(\lambda )$ 没有重零点, 而 $m(\lambda )=d_n(\lambda )$, 因此 $m(\lambda )$ 无重零点. 充分性: $m(\lambda )$ 等于第 $n$ 个不变因子, 因此不变因子没有重零点, 进而易知初等因子都是1次的, 因此 $\mathbf{A}$ 可相似对角化.

习题

1. 证明：$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 ${\mathbf{A}}^T$ 相似.
2. 证明：$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩为 $r$, 则 $\mathbf{A}$ 的特征值中至少有 $n-r$ 个 $0$（不考虑重复）.

2023年9月20日

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