傅里叶展开
最简单的周期函数 随时变化的正弦信号：
f
(
t
)
=
A
sin
(
ω
t
+
ψ
)
f(t)=A\sin(\omega t+\psi)
f(t)=Asin(ωt+ψ)
任意一个周期函数都可以表示为正弦函数线性叠加：
f
(
t
)
=
A
0
+
∑
n
=
1
∞
A
n
sin
(
n
ω
t
+
ψ
n
)
f(t)=A_0+\sum^\infty_{n=1}A_n\sin(n\omega t+\psi_n)
f(t)=A0+n=1∑∞Ansin(nωt+ψn)
由于
ψ
n
\psi_n
ψn 为常数
A
n
A_n
An 也是常数，将常数项整合到一起：
A
n
sin
(
n
ω
t
+
ψ
n
)
=
A
n
sin
ψ
n
cos
(
n
ω
t
)
+
A
n
cos
ψ
n
sin
(
n
ω
t
)
A_n\sin(n\omega t+\psi_n)=A_n\sin\psi_n\cos(n\omega t)+A_n\cos\psi_n\sin(n\omega t)
Ansin(nωt+ψn)=Ansinψncos(nωt)+Ancosψnsin(nωt)
记
a
n
=
A
n
sin
ψ
n
a_n=A_n\sin\psi_n
an=Ansinψn，
b
n
=
A
n
cos
ψ
n
b_n=A_n\cos\psi_n
bn=Ancosψn 得到如下三角函数形式：
f
(
t
)
=
A
0
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
n
ω
t
)
+
b
n
sin
(
n
ω
t
)
]
=
ω
=
2
π
/
T
A
0
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
2
π
n
T
t
)
+
b
n
sin
(
2
π
n
T
t
)
]
\begin{aligned} f(t)&=A_0+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)] \\[4ex] &\xlongequal{\omega={2\pi}/T}A_0+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)] \end{aligned}
f(t)=A0+n=1∑∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]ω=2π/TA0+n=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]
三角函数正交性
三角函数在一个周期内积分为0
三角函数系：1，
cos
x
\cos x
cosx，
sin
x
\sin x
sinx，
cos
2
x
\cos 2x
cos2x，
sin
2
x
\sin 2x
sin2x，……，
cos
n
x
\cos nx
cosnx，
sin
n
x
\sin nx
sinnx
若一个三角函数系中任意两个不同函数相乘，在
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π]上积分为0，称这个三角函数系在区间上正交
求傅里叶级数系数
对傅里叶展开式在
[
0
,
T
]
[0,T]
[0,T] 上求积分：
∫
0
T
f
(
t
)
d
t
=
∫
0
T
A
0
d
t
+
∫
0
T
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
2
π
n
T
t
)
+
b
n
sin
(
2
π
n
T
t
)
]
d
t
=
∫
0
T
A
0
d
t
+
0
=
T
A
0
\begin{aligned} \int^T_0f(t)\mathrm dt & = \int^T_0A_0\mathrm dt+\int^T_0\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)]\mathrm dt \\[4ex] &=\int^T_0A_0\mathrm dt+0 \\[4ex] &=T A_0 \end{aligned}
∫0Tf(t)dt=∫0TA0dt+∫0Tn=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]dt=∫0TA0dt+0=TA0
解得
A
0
=
1
T
∫
0
T
f
(
t
)
d
t
A_0=\frac1T\int^T_0f(t)\mathrm dt
A0=T1∫0Tf(t)dt
对傅里叶展开式两边同时乘以
cos
(
2
π
k
T
t
)
\cos(\frac{2\pi k}T t)
cos(T2πkt) 后在
[
0
,
T
]
[0,T]
[0,T] 上积分：
∫
0
T
f
(
t
)
cos
(
2
π
k
T
t
)
d
t
=
∫
0
T
A
0
cos
(
2
π
k
T
t
)
d
t
+
∫
0
T
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
2
π
n
T
t
)
+
b
n
sin
(
2
π
n
T
t
)
]
cos
(
2
π
k
T
t
)
d
t
=
0
+
∑
n
=
1
∞
[
∫
0
T
a
n
cos
(
2
π
n
T
t
)
cos
(
2
π
k
T
t
)
d
t
+
∫
0
T
b
n
sin
(
2
π
n
T
t
)
cos
(
2
π
k
T
t
)
d
t
]
=
∫
0
T
a
k
cos
2
(
2
π
k
T
t
)
d
t
+
0
=
a
k
2
∫
0
T
[
1
+
cos
(
2
2
π
k
T
t
)
]
d
t
=
a
k
2
T
\begin{aligned} \int^T_0f(t)\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt & = \int^T_0A_0\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt+\int^T_0\sum^\infty_{n=1}\left[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)\right]\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt \\[4ex] &=0+\sum^\infty_{n=1}\left[\int^T_0a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt+\int^T_0b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt\right] \\[4ex] &=\int^T_0a_k\cos^2(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt + 0 \\[4ex] &=\frac{a_k}2\int^T_0[1+\cos(2\frac{2\pi k}T t)]\mathrm dt \\[4ex] &=\frac{a_k}2T \end{aligned}
∫0Tf(t)cos(T2πkt)dt=∫0TA0cos(T2πkt)dt+∫0Tn=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]cos(T2πkt)dt=0+n=1∑∞[∫0Tancos(T2πnt)cos(T2πkt)dt+∫0Tbnsin(T2πnt)cos(T2πkt)dt]=∫0Takcos2(T2πkt)dt+0=2ak∫0T[1+cos(2T2πkt)]dt=2akT
解得：
a
n
=
2
T
∫
0
T
cos
(
2
π
n
T
t
)
f
(
t
)
d
t
a_n=\frac 2T\int^T_0\cos(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dt
an=T2∫0Tcos(T2πnt)f(t)dt
同理可以解得
b
n
b_n
bn：
b
n
=
2
T
∫
0
T
sin
(
2
π
n
T
t
)
f
(
t
)
d
t
b_n=\frac 2T\int^T_0\sin(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dt
bn=T2∫0Tsin(T2πnt)f(t)dt
总结一下
f
(
t
)
=
A
0
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
2
π
n
T
t
)
+
b
n
sin
(
2
π
n
T
t
)
]
f(t)=A_0+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)]
f(t)=A0+n=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]
A
0
=
1
T
∫
0
T
f
(
t
)
d
t
=
1
2
a
0
A_0=\frac1T\int^T_0f(t)\mathrm dt=\frac 12a_0
A0=T1∫0Tf(t)dt=21a0
a
n
=
2
T
∫
0
T
cos
(
2
π
n
T
t
)
f
(
t
)
d
t
a_n=\frac 2T\int^T_0\cos(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dt
an=T2∫0Tcos(T2πnt)f(t)dt
b
n
=
2
T
∫
0
T
sin
(
2
π
n
T
t
)
f
(
t
)
d
t
b_n=\frac 2T\int^T_0\sin(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dt
bn=T2∫0Tsin(T2πnt)f(t)dt