电路(下) 笔记

1. 三相电路

1. 三相电压的关系

• 瞬时值表达式
  

  $$\begin{aligned} u_A &=\sqrt{2}U\cos(\omega t) \\ u_B &=\sqrt{2}U\cos(\omega t-120^{\circ}) \\ u_C &=\sqrt{2}U\cos(\omega t+120^{\circ}) \end{aligned}$$

• 相量式
  

  $$\begin{align} \dot{U}_A &= \dot{U}\angle0^\circ \\ \dot{U}_B &= \dot{U}\angle-120^\circ =a^2\dot{U}_A \\ \dot{U}_C &= \dot{U}\angle120^\circ = a\dot{U}_A \end{align}$$
  其中, $a=1\angle120^\circ$, 它是工程上为了方便引入的单位相量算子

2. 线电压(电流)与相电压(电流)

• 流经输电线的电流成为线电流, 各输电线线段之间的电压为线电压, 三相电源、三相负载中每一相的电压、电流称为相电压和相电流

• 对称星形电源->线/相电压关系
  

  $$\begin{align} \dot{U}_{AB}&=(1-a^2)\dot{U}_A=\sqrt{3}\dot{U}_A\angle{30^\circ} \\ \dot{U}_{BC}&=(1-a^2)\dot{U}_B=\sqrt{3}\dot{U}_B\angle{30^\circ} \\ \dot{U}_{VA}&=(1-a^2)\dot{U}_C=\sqrt{3}\dot{U}_C\angle{30^\circ} \end{align}$$

• 对称三角形电源->线/相电压关系
  

  $$\begin{align} \dot{U}_{AB} = \dot{U}_A \\ \dot{U}_{BC} = \dot{U}_B \\ \dot{U}_{CA} = \dot{U}_C \end{align}$$

• 对称星形电源->对称星形负载 ->线/相电流间关系
  线电流等于相电流

• 对称星形电源->对称三角形负载->线/相电流间关系
  $$\begin{align} \dot{I}_A &= (1-a)\dot{I}_{A^`B^`} = \sqrt{3}\dot{I}_{A^`B^`}\angle-30^\circ \\ \dot{I}_B &= (1-a)\dot{I}_{B^`C^`} = \sqrt{3}\dot{I}_{A^`B^`}\angle-30^\circ \\ \dot{I}_C &= (1-a)\dot{I}_{C^`A^`} = \sqrt{3}\dot{I}_{A^`B^`}\angle-30^\circ \end{align}$$

3. 三相电路的功率

• 三相电路中, 三相负载吸收的复功率等于各项复功率之和
  

  $$\overline{S} = \overline{S}_A+\overline{S}_B+\overline{S}_C$$

• 三相电路瞬时功率
  

  $$p=p_A+p_B+p_C=3U_{AN}I_A\cos\phi=3P_A$$
  对称三相电路的瞬时功率是一个常量, 其值等于平均功率
  • 对称三相电路功率的计算:

  一相功率: $P_p = U_pI_p\cos\phi$

  三相总功率: $P=3U_pI_p\cos\phi$

  用线值表示, 有:
  

  $$\left\{ \begin{gather} U_p=\frac{1}{\sqrt{3}}U_l,\;I_p=I_l\quad(Y) \\ U_p=U_l,\;I_P=\frac{1}{\sqrt{3}}I_l\quad{(\Delta})\\ \end{gather} \right. \\ ~\\ \Rightarrow \quad P=\sqrt{3}U_lI_l\cos\phi$$
  其中, $\phi$为负载的阻抗角, 对称电路的$\phi$和每一相的$\phi$是一样的

• 二表法

  • 功率表读数:
    

    P1P2=Re[U˙ACI˙∗A]=U˙ACI˙Acosϕ1=Re[U˙BCI˙∗B]=U˙BCI˙