1、什么是超定方程组？

对于方程组Ax=b，A为m x n矩阵（m>n），x为n维列向量未知数。如果A列满秩，则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。这种方程一般来说无解，但可求其最小二乘解，即所谓的最小二乘问题。
了解线性方程组的类型以及求解方法可见：链接

1.1、什么是SVD分解？其性质是什么？

这一部分可以直接看这个链接，讲的非常明白。我在这把对我们便于理解下一个问题的重要结论摘取出来。

SVD分解的定义：SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

其中 U 是一个 m x m 的矩阵， $\sum$是一个 m x n 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V 是一个 n x n 的矩阵。

性质1：U 和 V 都是酉矩阵，即满足: U^TU = I, V^TV = I。
性质2：U 和 V 都是正交矩阵，即满足： ||U||=||V||=1，||u_iu_j||=0, ||u_iU_i||=1。
也就是三轴两两内积都为零，自己和自己内积为1。

1.2、一直疑惑的问题：为何其最小奇异值对应的右奇异向量为最优解？

例如我们求解 A_nx4X_4x1 = 0的解，可见A矩阵的行数大于列数，所以用SVD分解的方法求其最小二乘解是一个不错的方法。

设 A = U D V^T，则此时问题转化为： argmin||U D V^T x||。

由上面性质2可以将上式转化为： argmin||D V^Tx ||。

接着设，V^Tx = Y，同时更新上式：argmin||D Y ||。
即求： D_nx4Y_4x1=min

注意：由于四个奇异值是从大到小排列的，所以很容易得出，当Y=[0,0,0,1]^T时，使得求解方程最小！

来到这里我们就可以求解x了。
我们得到了这样一个式子：Y=V^Tx=[0,0,0,1]^T。
这里我们同样要用到性质2，

解得 x = v₄^T。正是最小奇异值对应的右奇异向量
！！！

结论: A_nx4X_4x1 = 0的最小二乘解为最小奇异值对应的右奇异向量！

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