车辆路径问题

介绍

车辆路径问题（VRP）是一种组合优化和整数规划问题，VRP由Dantzig和Ramser于1959年提出，，旨在利用一组车辆为一些客户提供服务，其目标是在满足这些客户的不同需求下，找到路程最短或者成本更低的路线。车辆路径问题是运输、配送和物流领域的重要问题。

描述

车辆路径问题（VRP）是一个通用名字，用于描述一类问题。这类问题通常需要一组车辆（一个车辆基地或者多个车辆基地）以服务一定数量的地理分散的城市或者客户点。VRP问题的目标就是一组车辆从基地出发前往客户点，在满足所有客户点的同时，寻找出代价（代价可以是路程、时间、综合成本）最小的方法。如下图所示的VRP问题的求解。

由此看来，传统的旅行商问题（Traveling Salesman Problem）是只有一个车辆配送的VRP问题，属于VRP问题的特例，而TSP被证明是NP-hard问题，因此VRP也是一个NP-hard问题，所以其无法在一个多项式时间内解决。

数学定义

VRP是一个组合优化问题，其模型可以用一个加权完全图来表示：
$$\begin{gathered} \min f(x)=\sum _{i=0}^{n}Cost(R_i),n=|v|(1) \\ |\sum _{i=0}^n{R}_i/v_0|=|V|(2) \end{gathered}$$
公式（1）中$f(x)$表示解的评价值，用来评估解的优劣，$Cost$函数用来计算每条路线的代价值，$v$表示车辆，该公式说明问题的求解就是为每辆车分配路线，并且让这些路线的代价值总和最小。公式（2）中的$v_0$表示车辆先从基地出发，$V$​表示客户点和基地，该公式说明得到的路线必须包含所有客户点。

上面公式只是VRP问题最基本的模型，现在很多演变的模型核心问题都是解决上面两个问题，如有载量约束的VRP（CVRP）、电动车的VRP（EVRP）、带时间窗的VRP（VRPTW）等等，其都是在此基础上增加约束条件，因此其约束条件不在此一一列举。

求解方法

之前提到过，由于VRP问题是一个NP-hard问题，其问题的求解难度随问题规模增大呈指数级增长，因此很少有精确算法能够解决此类问题，大部分的算法都是启发式算法和元启发式算法来解决此类问题。以下本文就总结目前常用的方法：

1. 精确求解
   • 分支定界法（Branch and bound）
   • 分支定界法和切割平面法（Branch and cut）
2. 启发式算法
   1. 节约算法
   2. 基于图匹配算法
3. 2-阶段算法
   1. 先分组-后构造路线算法
   2. 先构造路线-后分组算法
4. 元启发式算法
   • 遗传算法
   • 蚁群算法
   • 粒子群优化
   • 模拟退火
   • 禁忌搜索

变种问题

自上世纪VRP提出到现在VRP问题衍生出了很多变种问题，诸如：

• 时窗限制车辆路线问题（vehicle routing problems with time windows，VRPTW）
• 追求最佳服务时间的车辆路线问题（VRPDT）
• 多车种车辆路线问题（fleet size and mix vehicle routing problems，FSVRP）
• 车辆多次使用的车辆路线问题（vehicle routingproblems with multiple use of vehicle，VRPM）
• 考虑收集的车辆路线问题（vehicle routingproblems with backhauls，VRPB）
• 随机需求车辆路线问题（vehicle routing problem with stochastic demand，VRPSD）
• 电动汽车路径规划（electric vehicle routing problem，EVRP）

参考网站：

VRP
维基百科
MBA